分解一个方阵

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-17 18:23:13

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方阵 $A=[(1,1,1,1,1),(1,2,3,4,5),(1,3,6,10,15),(1,4,10,20,35),(1,5,15,35,69)]$ 能否找到一个下三角阵$L$，使得$A=L^T L$？

mathe · 发表于 2010-9-17 20:36:28

LU分解应该就是做这件事的

mathe · 发表于 2010-9-17 20:37:13

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/LU%E5%88%86%E8%A7%A3

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-9-17 20:38:14

好像有一点差别。这里要求$U$是$L$的转置矩阵。可能是这个条目： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/Cholesky%E5%88%86%E8%A7%A3 可惜缺少资料。

mathe · 发表于 2010-9-18 07:57:37

链接里有，对于对称阵正定阵的情况U就可以是L的转置了。而显然如果$A=L^TL$,那么A对称而且对于任意向量x,$x^TAx>=0$.

mathe · 发表于 2010-9-18 07:58:59

计算上面对称阵的特征值，全部非负，所以应该是可以分解的

gxqcn · 发表于 2010-9-18 08:00:53

Cholesky 分解与楼主的要求略有区别，其中 $L$ 要求的是上三角矩阵，而不是楼主要求的下三角矩阵。

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-10-1 16:27:35

这是我用手算的结果。

不知道是否正确。有没有数学软件可以完成这个工作呢？

mathe · 发表于 2010-10-2 11:25:48

正确的,我用maxima验算了结果了

zgg___ · 发表于 2010-10-8 16:44:25

楼主可以试一试Mathematica的呢，呵呵。其中CholeskyDecomposition命令就好了。输入：CholeskyDecomposition[{{1, 1, 1, 1, 1}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 3, 6, 10, 15}, {1, 4, 10, 20, 35}, {1, 5, 15, 35, 69 + x}}] 输出：{{1, 1, 1, 1, 1}, {0, 1, 2, 3, 4}, {0, 0, 1, 3, 6}, {0, 0, 0, 1, 4}, {0,0, 0, 0,根号x}}

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