正多边形内切圆上的点到各顶点距离平方和为定值

gxqcn · 发表于 2010-9-20 16:22:02

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今天，在网络上看到：正三角形内切圆上的点到各顶点距离平方和为定值，我就试着推广：可否推广为正n边形？其中，n=4 即正方形情形非常好证（甚至比 n=3 时还容易），再大的 n 呢？进一步推广到立体，将“正多边形”替换成“正凸多面体”、“内切圆”替换成“内切球”，结论是否还成立？

wayne · 发表于 2010-9-20 16:59:10

斯坦纳树

wayne · 发表于 2010-9-20 17:14:26

哦，不一样。没看清楚，搞错了。

mathe · 发表于 2010-9-21 06:37:38

设$A_1,A_2,...,A_n$是正n边形的各个顶点，$O$是中心，$X$是动点而且$|OX|$是常数，那么通过使用复数容易证明，$X$到n个顶点距离平方和为常数。

gxqcn · 发表于 2010-9-21 07:40:09

mathe 厉害，更能发现问题的本质！

mathe · 发表于 2010-9-21 07:54:41

还可以推广，还是利用向量内积计算简单一些: $K$维空间中$N$个点$A_1,A_2,...,A_N$,它们重心为$O$,那么空间中任意一点$X$到这$N$个点的距离平方和同$X$到$O$的距离平方的N倍之差为常数。

wayne · 发表于 2010-9-21 11:19:12

6# mathe 应该是之和为常数吧。具体形式跟方差的计算类似

wayne · 发表于 2010-9-21 11:23:46

郭大对这个问题把持得很好，我第一眼还以为是在让我们找那个斯坦纳点呢

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[猜想] 正多边形内切圆上的点到各顶点距离平方和为定值