和大笨蛋下围棋

KeyTo9_Fans

KeyTo9_Fans又和KeyTo9一起玩游戏了。

这次他们俩在$N$*$N$的棋盘上下围棋。

规则可参阅百度百科词条——围棋。

下了若干步之后，KeyTo9发现不对劲。

KeyTo9_Fans好像根本就不会下围棋，他只是随机地落子。

假设当前有$k$个可以落子的格子，则KeyTo9_Fans选择任何一个格子落子的概率均为$1/k$。

如果在某个格子落子后即不能提取对方的子，又使得自己的子呈无气状态，则这个格子不能落子。

此外，如果某个空格周围都是自己的子，且这些子属于同一连通块，则Fans不会在这个格子上落子。

除此之外，其余的格子都视为可以落子。

由于Fans是一个大笨蛋，而KeyTo9又绝顶聪明。

所以为了平衡双方的势力，KeyTo9每次走$1$步，Fans每次走$2$步。

KeyTo9可在适当的时候pass，而Fans总是不pass，除非无子可下。

当双方都pass时，游戏结束。

此时统计双方的目数。

问题$1$：如果KeyTo9的目标是完胜（占领$N^2$目），那么最终达成目标的概率是多少？

问题$2$：如果KeyTo9的目标是胜利（目数大于$N^2/2$），那么最终达成目标的概率是多少？

问题$3$：如果KeyTo9的目标是占领尽可能多的目数，那么最终所占目数的期望值是多少？

问题$4$：如果KeyTo9的目标是占领尽可能多的目数，那么当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的期望值与$N^2$的比值是否有极限？如果有极限，该极限是多少？

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下载附件，解压后即可运行该游戏。

我们扮演的是KeyTo9的角色，电脑扮演Fans的角色。

在size.txt里可以设置棋盘规模。

【size.txt】的第一个参数是棋盘大小，第二个参数是格子的size

点击鼠标左键落子，右键pass。

注意要把g2.exe和size.txt放在一起，不要分开了~

不然g2.exe无法启动。

希望大家玩得开心~

KeyTo9_Fans

我自己玩了很多局，总结出以下规律：

对于小规模棋盘可以轻松完胜。

如下图所示：



对于中等规模棋盘则几乎不可能完胜，但可以轻松取得胜利。

如下图所示：



猜想：

棋盘越大对KeyTo9越不利。

当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例可能是$0$。

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试玩了一下$N=51$的棋盘，结果如下图所示：



该结果说明随着棋盘的增大，双方的势力会趋向于平衡。

所以上述猜想成立的可能性不大。

当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例应该是大于$0$小于$1$的一个常数。

该常数可能在$0.4$到$0.7$之间。

于是我们可以追加一个问题：

问题$5$：

假设每次KeyTo9下$1$步，Fans下$x$步。

当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例是$0.5$。

求实数$x$的值。

例如：$x=2.3$表示Fans以$70%$的概率下$2$步，$30%$的概率下$3$步。

猜想：$2<x<3$。

希望经过长时间的研究，我们可以精确地求得$x$的值。

我们不妨把该常数$x$称为傻瓜围棋常数 。

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$1$楼附件里的游戏棋盘规模不能超过$20$。

如果您要将棋盘规模设置成$20$以上，请发邮件至yangyi0526@163.com告知Fans。

Fans将会以邮件的形式将新版本发给您。

无心人

呃，不能超过20指2-20？
20以上指>=20么？

KeyTo9_Fans

是$3$到$20$。

$N<3$的时候会出问题。

$N>20$的时候棋盘会超出窗口边界，导致边界外的格子不能被鼠标点击到。

所以附件只提供$3*3$到$20*20$的棋盘。

wayne

猜测，楼主姓杨，单名一个佚字

没——问题

题目里似乎没有说明，但从图上来看keyto9总是执绿子
也就是keyto9恒为先手或后手？

KeyTo9_Fans

你可以下载附件试玩一下。

KeyTo9总是先下。

根据多次实战的经验，当$N->oo$时，前2个问题的答案已经确定了：

KeyTo9完胜的概率是$0$，获胜的概率是$1$。

于是关于完胜，我们可以追加一个问题：

问题$6$：

假设$N->oo$，每次KeyTo9下$1$步，Fans下$x$步。

要求KeyTo9完胜的概率大于$0$，问$x$的最大值是多少？

猜想：$1<x<2$

例如：$x=1.6$表示Fans以$40%$的概率下$1$步，$60%$的概率下$2$步。

KeyTo9_Fans

经实践，当$x=1$时，KeyTo9可以轻松完胜。

如下图所示：

mjs1wh

有点意思，可以玩玩，但要求解怕不容易，像那些古老的棋类游戏一样，很难求解的

KeyTo9_Fans

楼主的附件暂时弄丢了，我需要一些时间把它找回来。

找到之后，我可以通过【修改主题贴】的方式把它复原。

我会尽力去找的，请大家静候佳音~v

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如果楼上 mjs1wh 还在的话， 他可以帮我找~



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我当时设置得不好：(

这附件需要付费$1$枚金币。

要是免费的话，可能会有更多人下载。

这样万一我弄丢了，就可以让更多人帮我找~

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下载记录发生了一些变化：





说明$.^*.^*.$也下载了这个附件, 还付了$1$枚金币, 下载了一个不能用的附件，

郭兄不用内疚，想办法把这$1$枚金币退给$.^*.^*.$就好~

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丢失的附件找到了~

debug.zip (583.66 KB, 下载次数: 4)

2019-1-14 05:53 上传

点击文件名下载附件

下载这个附件，解压后就就可以玩这个游戏了~