和大笨蛋下围棋

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-10-30 01:44:21

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KeyTo9_Fans又和KeyTo9一起玩游戏了。这次他们俩在$N$*$N$的棋盘上下围棋。规则可参阅百度百科词条——围棋。下了若干步之后，KeyTo9发现不对劲。 KeyTo9_Fans好像根本就不会下围棋，他只是随机地落子。假设当前有$k$个可以落子的格子，则KeyTo9_Fans选择任何一个格子落子的概率均为$1/k$。如果在某个格子落子后即不能提取对方的子，又使得自己的子呈无气状态，则这个格子不能落子。此外，如果某个空格周围都是自己的子，且这些子属于同一连通块，则Fans不会在这个格子上落子。除此之外，其余的格子都视为可以落子。由于Fans是一个大笨蛋，而KeyTo9又绝顶聪明。所以为了平衡双方的势力，KeyTo9每次走$1$步，Fans每次走$2$步。 KeyTo9可在适当的时候pass，而Fans总是不pass，除非无子可下。当双方都pass时，游戏结束。此时统计双方的目数。问题$1$：如果KeyTo9的目标是完胜（占领$N^2$目），那么最终达成目标的概率是多少？问题$2$：如果KeyTo9的目标是胜利（目数大于$N^2/2$），那么最终达成目标的概率是多少？问题$3$：如果KeyTo9的目标是占领尽可能多的目数，那么最终所占目数的期望值是多少？问题$4$：如果KeyTo9的目标是占领尽可能多的目数，那么当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的期望值与$N^2$的比值是否有极限？如果有极限，该极限是多少？ ##### 下载附件，解压后即可运行该游戏。我们扮演的是KeyTo9的角色，电脑扮演Fans的角色。在size.txt里可以设置棋盘规模。【size.txt】的第一个参数是棋盘大小，第二个参数是格子的size 点击鼠标左键落子，右键pass。注意要把g2.exe和size.txt放在一起，不要分开了~ 不然g2.exe无法启动。希望大家玩得开心~

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-10-30 13:13:21

我自己玩了很多局，总结出以下规律：对于小规模棋盘可以轻松完胜。如下图所示：

对于中等规模棋盘则几乎不可能完胜，但可以轻松取得胜利。如下图所示：

猜想：棋盘越大对KeyTo9越不利。当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例可能是$0$。 ##### 试玩了一下$N=51$的棋盘，结果如下图所示：

该结果说明随着棋盘的增大，双方的势力会趋向于平衡。所以上述猜想成立的可能性不大。当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例应该是大于$0$小于$1$的一个常数。该常数可能在$0.4$到$0.7$之间。于是我们可以追加一个问题：问题$5$：假设每次KeyTo9下$1$步，Fans下$x$步。当$N->\infty$时，KeyTo9所占目数的比例是$0.5$。求实数$x$的值。例如：$x=2.3$表示Fans以$70%$的概率下$2$步，$30%$的概率下$3$步。猜想：$2 。 ##### $1$楼附件里的游戏棋盘规模不能超过$20$。如果您要将棋盘规模设置成$20$以上，请发邮件至yangyi0526@163.com告知Fans。 Fans将会以邮件的形式将新版本发给您。

无心人 · 发表于 2010-11-1 16:34:42

呃，不能超过20指2-20？ 20以上指>=20么？

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-11-1 16:47:22

是$3$到$20$。 $N<3$的时候会出问题。 $N>20$的时候棋盘会超出窗口边界，导致边界外的格子不能被鼠标点击到。所以附件只提供$3*3$到$20*20$的棋盘。

wayne · 发表于 2010-11-1 16:47:35

猜测，楼主姓杨，单名一个佚字

没——问题 · 发表于 2010-11-13 22:04:18

题目里似乎没有说明，但从图上来看keyto9总是执绿子也就是keyto9恒为先手或后手？

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-11-13 22:16:44

你可以下载附件试玩一下。 KeyTo9总是先下。根据多次实战的经验，当$N->oo$时，前2个问题的答案已经确定了： KeyTo9完胜的概率是$0$，获胜的概率是$1$。于是关于完胜，我们可以追加一个问题：问题$6$：假设$N->oo$，每次KeyTo9下$1$步，Fans下$x$步。要求KeyTo9完胜的概率大于$0$，问$x$的最大值是多少？猜想：$1

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-11-14 02:03:20

经实践，当$x=1$时，KeyTo9可以轻松完胜。如下图所示：

mjs1wh · 发表于 2010-11-14 12:10:20

有点意思，可以玩玩，但要求解怕不容易，像那些古老的棋类游戏一样，很难求解的

KeyTo9_Fans · 发表于 2019-1-13 15:10:06

楼主的附件暂时弄丢了，我需要一些时间把它找回来。

找到之后，我可以通过【修改主题贴】的方式把它复原。

我会尽力去找的，请大家静候佳音~v

#####

如果楼上 mjs1wh 还在的话，他可以帮我找~

#####

我当时设置得不好：(

这附件需要付费$1$枚金币。

要是免费的话，可能会有更多人下载。

这样万一我弄丢了，就可以让更多人帮我找~

#####

下载记录发生了一些变化：

说明$.^*.^*.$也下载了这个附件, 还付了$1$枚金币, 下载了一个不能用的附件，

郭兄不用内疚，想办法把这$1$枚金币退给$.^*.^*.$就好~

#####

丢失的附件找到了~

debug.zip (583.66 KB, 下载次数: 4)

下载这个附件，解压后就就可以玩这个游戏了~

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