存在钝角四面体么？

娃娃

钝角四面体即四个面都是钝角三角形的四面体。 如果存在，其中三个钝角能共顶点么？

风云剑

应该存在。

liangbch

四面体是面数最小的多面体，平均而言，每个多面角的内角和为180. 三个钝角可以共定点。一个非常矮的三棱锥就是一个例子，顶锥的每个角接近120度。

mathe

是存在的，就是3楼的构造方法，然后要求余下一个面非常贴近那三个面中一个

gxqcn

来，请跟我一起构造一个： 1、在平面上过点O做三条射线OA、OB、OC，并使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°； 2、过点O，做平面ABC的垂线OD； 3、依次截取：OD=1，OA=3，OB=OC=9； 4、连结AB、BC、CA、AD、BD、CD。 $cos/_BAC=-9/234<0,\quad\cos/_ADB=cos/_ADC=-(5sqrt205)/164<0,\quad\cos/_BDC=-79/164<0$ 则：∠BAC=92.2°，∠ADB=∠ADC=115.9°，∠BDC=118.8°， 故四面体ABCD四面均为钝角三角形。

G-Spider

呵呵，我也来构造一下： 1、找一个钝角三角形ABC作为底面，∠C是钝角。 2、在 C 向边 AB 所作的高线内找一点G。显然∠BGC、∠CGA、∠AGB皆钝角。 3、从G竖起一段底面的垂线GD，设|GD|= h，那么∠BDC(h)∈(0,∠BGC), ∠CDA(h)∈(0,∠CGA)、∠ADB(h)∈(0,∠AGB). 这里h∈(0,∞). 0←h时，各角趋近区间右端，h→∞,各角趋近区间左端0. 在 h 足够小时，总能使得各角足够靠近区间右端为钝角。 事实上，作以AC和BC为直径的两个球体，它们交集内的任何点都能取为 D 满足要求。 这个交集在底面ABC上所截的部分即图中的阴影部分。