如何理解正多单形体的含义

liexi20101117

发现一个公式可以来表示这些胞腔的性质,公式如下:
若n度空间下的某个封闭的无亏格数胞体可以塌缩成为1个点,各个胞腔数如下:
若将胞体的胞腔数定为N(k),则
此胞体仅有1个--->N(n)=1
此胞体"侧表面"数为--->N(n-1)
...........................
此胞体三度空间(体)胞腔数为--->N(3)
此胞体二度空间(面)胞腔数为--->N(2)
此胞体一度空间(线)胞腔数为--->N(1)
此胞体零度空间(点)胞腔数为--->N(0)
以下简单公式成立:
∑[N(2i)]-∑[N(2i+1)]=1,--->i=0,1,2,3,...
即n度空间下的[点的胞腔数+偶数胞腔数的总和]-[奇数胞腔数的总和]＝1

例子:当n=3时,
[N(2)+N(0)]-[N(3)+N(1)]=1,这里N(3)=1,表示只有1个三度空间的物体
得N(2)-N(1)+N(0)=2,符合常见的欧拉公式 F - E + V = 2

第四,四度空间里有多少种正多胞体？
首先使用公式:[N(4)+N(2)+N(0)]-[N(3)+N(1)]=1
要知道多少种正多胞体,绝对是简单封闭的胞体,不含亏格数,-->N(4)=1
得到公式N(2)+N(0)＝N(3)+N(1),即
四度空间的物体,它的
面的数目+点的数目＝侧面数(n=3的胞腔数,即为体)+线的数目
然后就能用此公式推得


不过上面的欧拉示性数推广到n度空间的公式,已经被拓普学收入教材中,原发现者是谁我不清楚,不知道是不是欧拉本人？
请注意数学概念的使用。正多边形、正多面体，以及更高维空间中的这种具有超对称性的图形称为正多单形体。

　　现在数学得到的结果是，四维空间中的正多单形体有六种，五维和五维以上的空间有且只有三种。

　　四维空间中的正多单形体分别有以下六种：

　　正五单形体：有5个顶点、10条棱、10个二维平面、5个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为正四边形。

　　超正方体：有16个顶点、32条棱、24个二维平面、8个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为立方体。

　　16胞腔体：有8个顶点、24条棱、32个二维平面、16个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为正四面体。

　　24胞腔体：有24个顶点、96条棱、96个二维平面、24个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为正八面体。

　　120胞腔体：有600个顶点、1200条棱、720个二维平面、120个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为正十二面体。

　　600胞腔体：有120个顶点、720条棱、1200个二维平面、600个三维胞腔。其中三维胞腔的形状为正四面体。

　　如果用V表示顶点数、E表示棱数、F表示二维平面数、C表示胞腔数，则可以证明，有下列类似于Euler定理的公式：

　　V-E+F-C=0

　　此公式在三维空间中也成立，因为三维空间中的正多面体把空间分割成内部和外部两部分，即C=2。只可惜此公式只能用来算V、E、F和C之间的比例，不能具体算出它们的具体数值。上面列出的数值我也不知道数学家们是怎么得出来的。