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[提问] 根据小数如何求分数

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发表于 2010-12-1 20:59:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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昨天我的小表弟问我了一个关于一个不知是不是叫循环节的问题,例如$1/7$化成小数为0.142857142857……中的142857叫一个循环节(6位)。

已知一循环节位数为23的小数的,从小数点后开始的第4位第5位为数字45,第11位第12位第13位为091,循环节最后一位为7,且这个分数的分子中的最后一位数是1,分母中的第一位是9,这个分数如何求解呀?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-12-2 21:39:46 | 显示全部楼层
乍的,题目太简单了吗。
呵呵,可我就是不知思路呀。
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发表于 2010-12-3 00:05:12 | 显示全部楼层
看看~~~~
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发表于 2010-12-3 11:04:37 | 显示全部楼层
或许用一个分数(有理数)来逼近一个小数,还是有意思的。有时可能有利于分析问题和简化问题。
比如matlab就有这个东东:
  1. >> format rat
  2. >> 3.14159265358979323846
  3. ans =
  4.      355/113  

  5. >> format rat
  6. >> 0.142857142857
  7. ans =
  8.        1/7
复制代码
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发表于 2010-12-3 11:08:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 Buffalo 于 2010-12-3 11:10 编辑

方法1:循环小数 0.(abc...xyz)=abc...xyz/999...999,约分即得
方法2:连分数展开,$a_0=x$,$b_n=Int(1/a_n)$,$a_{n+1}=1/a_n-b_n$,$x=\frac{1}{b_0+\frac{1}{b_1+\frac{1}{b_2+..}}}$
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发表于 2010-12-3 11:11:51 | 显示全部楼层
设分子不x,分母为y,最大公约数为z,X=(x%y)/z,Y=y/z,A<10^3,B<10^5,C<10^9,则有
X*(10^23 - 1) = Y*(A*10^20 + B*10^13 + C*10 + 45*10^18 + 91*10^10 +7)
X*3*3*11*11*23*4093*8779*21649*513239 = Y*(A*10^20 + B*10^13 + C*10 + 45*10^18 + 91*10^10 +7)
可以看到Y值最多有512种取值,解出所有X与Y,得到基本解。
根据任意一组基本解求实例解:将Y*a=y使第一位是9(a不能是5的倍数),将X+y*b使最后一位数是1。
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发表于 2010-12-3 11:13:28 | 显示全部楼层
6# showjim
根据任意一组基本解求实例解:将Y*a=y使第一位是9(a不能是5的倍数,除非X个位为1),将X+y*b使最后一位数是1。
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发表于 2010-12-3 11:17:00 | 显示全部楼层
7# showjim
还是错了,应该是
根据任意一组基本解求实例解:求Y*a=y使第一位是9(a不能是5的倍数),求a*(X+y*b)=x使最后一位数是1。
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 楼主| 发表于 2010-12-6 22:48:43 | 显示全部楼层
谢谢楼上的几位给我的思路与方法。我会试试的。
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发表于 2017-1-22 16:28:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 manthanein 于 2017-1-22 16:31 编辑

循环节有23位?那么分母一定是10^22-1的约数。
10^22-1=3^2*11^2*23*4093*8779*21649*513239
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