寻找这样的函数

Buffalo · 发表于 2010-12-16 08:54:42

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对于自然数$k$，寻找不太复杂的函数$f_k(x)$，使得对任意自然数$n$都有$\int_{0}^{\infty}x^n f_k(x)dx=(n+k)!n!$

mathe · 发表于 2010-12-16 09:52:37

Let $x=exp(it)$,we have
$int_{-infty}^{+infty}ie^{i n t}f_k(exp(it))exp(it)dt=Gamma(n+k+1)Gamma(n+1)$
所以能够做$Gamma(n+k+1)Gamma(n+1)$关于n的傅立叶逆变换就可以找出$f_k$

wayne · 发表于 2010-12-17 13:56:30

1# Buffalo
好题，我喜欢~~

wayne · 发表于 2010-12-18 15:54:03

2# mathe
这个变换不好搞定，mathe算出来了吗？
我算着算着有点晕乎了。
========================
要是(n+k)!多好：

$\int_{0}^{\infty}x^n * x^k*e^{-x}dx=(n+k)!$

wayne · 发表于 2010-12-18 15:58:38

二维的福立叶逆变换，用软件也算不出来。

mathe · 发表于 2010-12-18 18:02:06

可能用Laplace变换更加好算一些

mathe · 发表于 2010-12-20 10:31:07

令$x=exp(-t)$,于是我们将原式写成:
$-int_{-infty}^{+infty}e^{-(n+1)t}f_k(exp(-t))dt=Gamma(n+k+1)Gamma(n+1)$
其中左边是函数$-f_k(exp(-t))$的Bilaternal Laplace变换

mathe · 发表于 2010-12-20 10:34:34

只是双边Laplace变换的逆变换的计算不知道是否同单边的相同，不过看链接内容，感觉应该如此。如果这样，就转变为计算右边$Gamma$函数的各极点的留数问题了

wayne · 发表于 2010-12-22 14:13:53

8# mathe
我学过<数字信号处理>这门课的,玩F变换都只是停留在应用层次,不过据我的做题经验来看,Laplace变换和Fourier变换没什么差别, 双边Fourier也单边也没什么差别.

我在想, 我们是不是可以考虑其他非指数形式的积分变换核

wayne · 发表于 2010-12-22 14:21:24

比如 , 梅林变换:
http://mathworld.wolfram.com/MellinTransform.html

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