能否证明这个方程组有无穷多组解

forcal

-b*sin(a+6*t)+n-40.4945=0
-b*sin(a+7*t)+n-40.5696=0
-b*sin(a+8*t)+n-41.0443=0
-b*sin(a+9*t)+n-41.4190=0

在求解这个方程组时，感觉解非常多，能否证明这个方程组有无穷多组解？

056254628

设 $a1,b1,n1 ,t1$是方程组的一组解，
那么，$a1,b1,n1,t1+2*k*pi$都是方程组的解 ，k属于任何整数。

forcal

设 $a1,b1,n1 ,t1$是方程组的一组解，
那么，$a1,b1,n1,t1+2*k*pi$都是方程组的解 ，k属于任何整数。
056254628 发表于 2011-1-14 21:19

如果t取-7～7，在求解时还会有很多组解，还能证明吗？

northwolves

如果t取-7～7，在求解时还会有很多组解，还能证明吗？
forcal 发表于 2011-1-14 21:48

设$ a1,b1,n1,t1$是方程组的一组解，
那么，$a1+2kπ,b1,n1,t1$都是方程组的解 ，k属于任何整数。

forcal

谢谢楼上两位！最基本的东西都忘了！

将a和t都限定为0～2pi（6.28），求一下还有几个解，应该是有限个解了吧？

我只能数值求解，不知理论推导能推出几个？

056254628

设u=a+7.5t
-b*sin(u-1.5t)+n=40.4945    式1
-b*sin(u-0.5t)+n=40.5696    式2
-b*sin(u+0.5t)+n=41.0443    式3
-b*sin(u+1.5t)+n=41.4190    式4
式2-式1得   -2b*cos(u-t)*sin(0.5t)=0.0751    式5
式3-式2得   -2b*cos(u)*sin(0.5t)=0.4747      式6
式4-式3得   -2b*cos(u+t)*sin(0.5t)=0.3747    式7

式5+式7得    -2b*sin(0.5t)*(cos(u+t)+cos(u-t))=0.4498
           即-2b*sin(0.5t)*2*cos(u)*cos(t)=0.4498  式8
式6代入式8得    0.4747*2*cos(t)=0.4498
    所以cos(t)=0.4498/(0.4747*2)=0.47377290920581419844112070781546    若0<=t<2*pi，那么t有2解，
       t1=1.0772262149940490008272798975116
                t2=2*pi-1.0772262149940490008272798975116=5.2059590921855374760980068690474
        tan(t)=±1.8587957121697277908778293159514
式7/式5得   cos(u+t)*0.0751 =cos(u-t)*0.3747
    即   0.0751cos(u)*cos(t)-0.0751sin(u)*sin*(t)=0.3747cos(u)*cos(t)+0.3747sin(u)*sin*(t)
          -0.4498*sin*(u)*sin(t)=0.2996cos(u)*cos(t)
      tan(u)=-0.2996/0.4498/tan(t) =-0.66607381058248110271231658514896/tan(t)=±0.35833620995660091634903055212031

      b= -0.4498/(4*sin(0.5t)*cos(u)*cos(t))      
  n=(40.5696+41.0443)/2 +b*sin(u)*cos(0.5t)
---------------------------------------------------------------------
a、t都在0和2pi以内应有有4组解，验证一下是否都对就可以了。

forcal

6# 056254628
感谢056254628！确实求得了4组解，代码：

1. !using["fcopt","math"];
   
2. f(a,b,n,t,y1,y2,y3,y4)=
   
3. {
   
4.   y1=-b*sin(a+6*t)+n-40.4945,
   
5.   y2=-b*sin(a+7*t)+n-40.5696,
   
6.   y3=-b*sin(a+8*t)+n-41.0443,
   
7.   y4=-b*sin(a+9*t)+n-41.4190
   
8. };
   
9. solve[HFor("f"), optrange,0,2*pi,-1e50,1e50,-1e50,1e50,0,2*pi];

复制代码

算法有待改进，需反复求解，得4组解：
1.001499450029047         0.4915300827061889        40.94928398718976         1.077226214994026         5.024295867788081e-015
4.143092103618644         -0.4915300827061838       40.94928398718975         1.077226214994054         5.024295867788081e-015
2.140093205431478         0.4915300826222994        40.94928398713199         5.205959091908552         6.146226145805337e-011
5.281685857150924         -0.4915300827061913       40.94928398718974         5.205959092185513         1.280949133595751e-014

wayne

7# forcal
Mathematica可以给出任意精度准确的解!!!
四组解， 保留50位精度,{a,b,t,n} 分别是:

{{-2.1400932035609147586637969667258776810633067249051,
-0.49153008270618919640083077724753090756036174814013,
  1.0772262149940490008272798975116339887809997209734,
  40.949283987189751801441152922337870296236989591673}, \

{-1.0014994500288784797988464165536252031338626744700, \
-0.49153008270618919640083077724753090756036174814013, \
-1.0772262149940490008272798975116339887809997209734,
  40.949283987189751801441152922337870296236989591673}, \

{2.1400932035609147586637969667258776810633067249051,
  0.49153008270618919640083077724753090756036174814013, \
-1.0772262149940490008272798975116339887809997209734,
  40.949283987189751801441152922337870296236989591673}, \

{1.0014994500288784797988464165536252031338626744700,
  0.49153008270618919640083077724753090756036174814013,
  1.0772262149940490008272798975116339887809997209734,
  40.949283987189751801441152922337870296236989591673}}

wayne

8# wayne

准确的解：
$a=\left\{-\text{ArcCos}\left[-\frac{126738209717915290245033631483 \sqrt{\frac{1249}{23402724241}}}{54316855764315064809674563}\right]$,

b=-\frac{4747 \sqrt{\frac{23402724241}{3498}}}{24980000}[/TeX],
t=\text{ArcCos}\left[\frac{2249}{4747}\right][/TeX],
$n=\frac{511456557}{12490000}\right\}$