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[猜想] 数论多项式恒取整值必有组合解释

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发表于 2011-1-28 11:58:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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f(n)是一个有理系数多项式,若f(n)在自然数集上恒为整数,那么f(n)必可表成若干组合数的整式。

例1:$f(n)=1/2n^2+1/2n=C(n+1,2)$

例2:$f(n)=n(n+1)(2n+1)/6=C(n+2,3)+C(n+1,3)$

例3:$f(n)=1/8n^4+1/12n^3-1/8n^2-1/12n=2C(n+2,4)+C(n+1,4)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-1-28 12:40:08 | 显示全部楼层
这个猜想是成立的,也是已知的,而且好像不需要约定f是有理数多项式,只要是实系数即可(不知道复系数是不是也是成立的)
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发表于 2011-1-28 12:50:38 | 显示全部楼层
发现很简单,用差分直接可以秒:
首先我们总可以将一个多项式写成$f(x)=a_0+\sum_{k=1}^na_k {x(x-1)...(x-k+1)}/{k!}$
我们计算f(x)的差分$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=a_1+\sum_{k=2}^n a_k {x(x-1)...(x-k+2)}/{(k-1)!}$
于是我们可以用数学归纳法证明$a_1,...,a_n$都是整数,再根据$a_0=f(0)$得出$a_0$也是整数
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发表于 2011-1-28 12:53:46 | 显示全部楼层
于是我们还可以推广,如果n次多项式f(x)使得f(t),f(t+1),...,f(t+n)都是整数,其中t是一个任意的整数,那么这个多项式必然是可以写成楼上形式
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 楼主| 发表于 2011-1-28 17:44:18 | 显示全部楼层
Mathe在3#的陈述已经十分简明了,搜了一下发现了由3#那种差分法导致的公式:

牛顿级数公式:$f(x + a) = \sum_{k = 0}^n \frac{\Delta ^kf(a)}{k!}x_{(k)}= \sum_{k = 0}^n ((x),(k))\Delta ^kf(a)$

取a=0即是$f(x) = \sum_{k = 0}^n ((x),(k))\Delta ^kf(0)$, 既然f(n)恒取整数值,那么从f(0)起步的各阶前向差分$\Delta ^kf(0)$都是整数。

其中$x_{(k)}=x(x-1)(x-2).....(x-k+1)$称为x的k阶下降幂。$((x),(k))=x_{(k)}/{k!}$为(广义)二项式系数。

我感觉这个“猜想”在我们的能力范围内,但没想到会这么简单。主要是对差分法不熟。估计精通数值方法的人大多会向Mathe一样秒杀之。

点评

打错,x是f(x)  发表于 2014-6-8 15:46
这里的f(x)应该是不超过n次的多项式吗?如果x是任意的函数,感觉后面应该有个余项,或者n应该改成无穷大。  发表于 2014-6-8 15:45
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 楼主| 发表于 2011-1-28 19:41:31 | 显示全部楼层
这个所谓“猜想”在我由来已久,中学时常碰到求证f(n)恒为整数的题,做多了就产生了这种想法。但没想过要去证明它,中学以后把这想法就丢到脑后了。昨天看到那个组合求和的帖子,勾起沉淀,贴将上来,原以为会有一番探讨的,没想被秒杀了。

mathe也忒快了,我还打算在第2帖续两个例子的呢。
$f(n)={n^5-n}/30$和$f(n)={n^7-n}/42$,这一般是在学初等数论时用同余理论来证明的,按此“猜想”应可有代数证法。
$f(n)={n^5-n}/30={n(n-1)(n+1)(n^2+1)}/30={n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)}/30=4((n+2),(5))+((n+1),(3))$
$f(n)={n^7-n}/42={n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)}/42={n(n-1)(n+1)((n-2)(n+3)+7)((n+2)(n-3)+7)}/42$
$=5!((n+3),(7))+(2n^2-5)((n+1),(3))$
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发表于 2011-1-30 11:43:25 | 显示全部楼层
呵呵,学习了,赞上面的2位~~~ 看来要证明n次多项式f(x)在整数域上恒为整数只需要依次将0-n代入f就可以了。 于是之后的某一天…… 老师出题:证明当n取整数时(n^5-n)/30恒为整数。 同学回答:当n为0-5时,(n^5-n)/30分别为0,0,1,8,34,104,都是整数,故命题得证。 老师判分:0分。 呵呵。
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发表于 2011-1-30 16:35:56 | 显示全部楼层
一个是from down to up 一个是from up to down 一个是from now to future 赞楼上的三位~~
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