复数指数的疑惑

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最近用复数来研究天体力学，产生了一点困惑：

关于函数$exp()$，周期为$2i\pi$；而在实数中有运算法则$e^{ab}=(e^a)^b$，于是$y=exp(2i \pit) =[exp(2i \pi)]^t = [exp(4i \pi)]^t = exp(4i \pi t) $，但显然这两个不会相等。

我想问的是，这个指数运算为什么不能用到复数上去？关于实数的代数法则有多少可以直接用到复数上去？

zgg___

不知道有复函数e^z周期为2iPi的说法呀，呵呵。

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因为$exp(2i \pi)=1$

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最近用复数来研究天体力学，产生了一点困惑：

关于函数$exp()$，周期为$2i\pi$；而在实数中有运算法则$e^{ab}=(e^a)^b$，于是$y=exp(2i \pit) =[exp(2i \pi)]^t = [exp(4i \pi)]^t = exp(4i \pi t) $，但显然这两 ...
282842712474 发表于 2011-1-29 16:52

mathe以及各位老大可以解释一下吗

suiyili

问题出在你的转换过程中把单值函数转换成为多值函数。在数学上一般认为自然对数e的幂即e^k(k为复数)为单值函数，很多数学家把它记作exp()。
而z不是e的情况下z^k则为多值函数。

在你的转换中，exp(2*pi*i*t) = exp(2*pi*i)^t 这一步是错误的。exp(2*pi*i*t) 是个单值函数，exp(2*pi*i)也是单值函数，而exp(2*pi*i)^t是多值函数。
exp(2*pi*i)^t =  exp(4*pi*i)^t 没错。但是，最后又把多值函数exp(4*pi*i)^t 转换为单值函数exp(4*pi*i*t), 则又错了。

中间的多值转换应该是，exp(2*pi*i)^t =  exp(4*pi*i)^t = 1^t = e^(t*log1)= e^(t*(2*k*pi*i))=e^(2*k*pi*i*t)。
所以，根据k取不同值，例如 1或者2，会等于单值函数exp(2*pi*i*t)或者exp(4*pi*i*t)。

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exp(4*pi*i)^t = 1^t ?

suiyili

e^0 = e^(0+2*k*pi*i) = 1