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[讨论] 一个矩形分隔成n个面积相等的小矩形的分法总数

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发表于 2011-1-31 18:44:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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把一个矩形分隔成n个面积相等的小矩形,所有的分法的总数为f(n)。
求:f(n)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-1-31 18:46:10 | 显示全部楼层
我来抛砖引玉
f(2)=2

21.JPG                                                 22.JPG


f(3)=6

31.JPG                                               32.JPG


33.JPG                                              34.JPG


35.JPG                                            36.JPG
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 楼主| 发表于 2011-1-31 19:14:37 | 显示全部楼层
f(4)=21

5.JPG

以下越来越复杂了。
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发表于 2011-2-5 22:57:22 | 显示全部楼层
cut_rectangle_into_5_parts.PNG

$=(21+6+2+1+2+4+1+1+6)*2$

$=88$

猜想:

http://oeis.org/search?q=1%2C2%2 ... mp;language=english
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 楼主| 发表于 2011-2-6 13:37:29 | 显示全部楼层
真的有 $f(n+1)=n*(f(n)+1) $ ?
前几项确实符合,能证明么?
-----------------
若把题目改成:求把一个矩形分隔成n个面积相等的三角形的分法总数
还有简洁的递推公式吗?
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发表于 2011-2-6 23:50:25 | 显示全部楼层
猜想是错的。

经过粗略的列举,$f(6)$达不到$445$那么多。

希望$056254628$大牛给出$f(6)$的确切值,我们互相对一下。

如果$f(6)$不是$445$,就说明这个数列尚未被oeis收录,是一个新的数列,我们要把它添加到oeis中。

当$n$足够大时,$f(n+1)/f(n)$应该会逐渐趋近于一个常数$c$。

不知道有没有巧妙的方法求出这个常数$c$。

#####

$f(5)$的值还不一定正确,请$056254628$大牛检查。
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 楼主| 发表于 2011-2-7 18:18:31 | 显示全部楼层
矩形可以通过调整横坐标单位长度和纵坐标单位长度的值,使得该矩形变成单位正方形。
这样一个图形通过旋转和翻转可以代表不同的图形分法。
以下计算f(5):

da.JPG


$f(5)=72+12+4=88$
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 楼主| 发表于 2011-2-7 20:31:26 | 显示全部楼层
a1.jpg


上述总共有390种。离445还差一点。
大家看看有没有漏掉什么。
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发表于 2011-2-7 22:40:13 | 显示全部楼层
我也是数到$390$种。

但是我的方法不够$056254628$大牛的方法简便。

CIMG0045.JPG

#####

这是一个oeis尚未收录的新数列。

$056254628$大牛可以考虑将这个数列添加到oeis中。
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 楼主| 发表于 2011-2-7 23:26:29 | 显示全部楼层
f(n)和a(n)在前5项都相等,在第6项开始分道扬镳,到底是巧合,还是有什么深刻的意义呢?
  其中$a(n+1)=n*(a(n)+1)$
--------------------------------------------------
对于我提的分成n个三角形的问题。记做g(n).
g(1)=0
g(2)=2
g(3)=0
g(4)=26?
g(5)=0?
......

好像g(2k+1)=0
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