生番进制问题

无心人

假设太平洋某小岛有一群土著顽固崇拜素数
他们规定
一个数字必须表示成以素数做进制的数
即最低位逢2进1，然后逢3进一，逢5进一，依次类推

问题1、16，17， 238怎么表示
问题2、一个数字是否能唯一的表示成这种进制呢？

gxqcn

我觉得这种计数法则类似于“混合进制”，
比如我们常见的 ../年/月/日/时/分/秒/.. 之类的计数法则，
应该是可以做到一一对应的。

这个“生番进制”与前n个素数之积相关（在 HugeCalc 中，对应的函数名为 PrimeFactorial(n)）：

“生番进制”中与普通10进制的等价关系为（前者用中括号标定）：
[1] = PrimeFactorial(0) = 1
[10] = PrimeFactorial(1) = 2
[100] = PrimeFactorial(2) = 6
[1000] = PrimeFactorial(3) = 30
[10000] = PrimeFactorial(4) = 210
[100000] = PrimeFactorial(5) = 2310
。。。

以 238 为例，
238/[100000] = 0 … 238，得倒数第6位数=0
238/[10000] = 1 … 28，得倒数第5位数=1
28/[1000] = 0 … 28，得倒数第4位数=0
28/[100] = 4 … 4，得倒数第3位数=4
4/[10] = 2 … 0，得倒数第2位数=2
0/[1] = 0，得末位数=0

由于计数法则一般忽略前面连续的“0”，所以 238=[1 0 4 2 0]
验证一下：( 238 == (((1*7 + 0)*5 + 4)*3 + 2)*2 + 0 )? 结果完全正确！

另，16=[2 2 0]，17=[2 2 1]

无心人

问题2、一个数字是否能唯一的表示成这种进制呢？

gxqcn

应该是的。只要是自然数（因小数法则尚未定义）。
见 2# 我的回复第三行。

shshsh_0510

n=2*a(1)+2*3*a(2)+2*3*5*a(3)+...+p1*p2*...*pk*a(k)
另设
n=2*b(1)+2*3*b(2)+2*3*5*b(3)+...+p1*p2*...*pk*b(k)
且存在b(i)<>a(i)
取最小的i,于是p1*p2*...*pi*a(i)=p1*p2*...*pi*b(i) mod pi+1
p1*p2*...*pi*(a(i)-b(i))=0 mod pi+1
so,a(i)=b(i)

无心人

说不出来的疑惑

oldseawave

最低位逢二进一，则最低位只有0    1 ，第二位上的数字n实际上是2*n；第二位逢三进一，则第二位上只有0   1   2，第三位上的数字m实际上是m*3*2，，，，，以此类推

oldseawave

我刚发现这个论坛，挺好玩的，