分子为二次型分母为一次式的分式的和的最值

sir_chen · 发表于 2011-2-18 09:55:15

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形如$y={x^TWx}/{x^TWe}+{(e-x)^TW(e-x)}/{(e-x)^TWe}$, 其中x, e为n维列向量, W为$n\timesn$的实对称矩阵.
如何求解以上类型的函数的最值

mathe · 发表于 2011-2-18 10:36:13

转置用$A^T$表示不方便，这里改用$A'$表示A的转置
同样不妨设W正定，不然应该没有最值存在。
然后我们设$W=P'^-1P^-1$,而且变换阵P将x和e分别变换为z,h于是
$y(z)={z'z}/{z'h}+{(z'-h')(z-h)}/{(h'-z')h}=2+{h'h(z'z-z'h)}/{z'h(z'h-h'h)}$

mathe · 发表于 2011-2-18 10:41:33

然后我们知道如果同时将z,h按比例放缩，函数y的值不变，所以不妨假设h是单位向量。
于是$z'z$变成向量z的长度平方,z'h是z在方向h的投影。我们假设两个向量夹角为$\theta$,z的长度为r,于是
$y=2+{r^2-r cos(theta)}/{r^2 cos^2(theta)-r cos(theta)}=2+{r-cos(theta)}/{r cos(theta)(r cos(theta)-1)}$

mathe · 发表于 2011-2-18 10:46:08

现在可以人容易看出，最值不存在了。只要我们选择$r$接近$1/{cos(theta)}>=1$,也就是z在h上投影等于h,y就会趋向无穷

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