一道有意思的题目:蚂蚁爬橡皮筋

sir_chen

有一只蚂蚁在一根1m长的橡皮筋上从一端爬到另一端, 若蚂蚁爬行速度为1cm/s, 同时橡皮筋以1m/s的速度拉长, 问蚂蚁爬到另一端的时间是多少?
我算了一下, 答案是$(e^100-1)s$, 这只可怜的蚂蚁爬到世界末日也爬不到终点.
现在把这个问题一般化, 记橡皮筋长度为$L$, 蚂蚁的速度为$v$, 橡皮筋伸长速度为$v_0$, 求蚂蚁爬到终点的时间.
这个问题即可以用高等数学做, 也可以用初等数学做, 只是初等数学做起来要麻烦一些. 问题留在这里, 看谁最快用初等数学解决它.

ulrica

吓得不敢说了

qianyb

若蚂蚁爬行速度为1cm/s, 同时橡皮筋以1m/s的速度拉长

不会吧，橡皮筋的拉长速度比蚂蚁爬行速度还快，蚂蚁可能爬到？

mathematica

问题解答123456

mathematica

问题的mathematica代码
(*蚂蚁爬橡皮筋问题*)
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*求解蚂蚁的位移常微分方程*)
eq=DSolve[{b*y[x]/(c+b*x)+a==y'[x],y[0]==0},y[x],x]
(*得到蚂蚁的位移常微分方程的表达式*)
yy=y[x]/.Flatten@FullSimplify[eq]
(*求得蚂蚁和重点重合所需要的时间,其中一个解答无意义被略去*)
Solve[yy==c+b*x,{x}]

1. (*蚂蚁爬橡皮筋问题*)
   
2. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
3. (*求解蚂蚁的位移常微分方程*)
   
4. eq=DSolve[{b*y[x]/(c+b*x)+a==y'[x],y[0]==0},y[x],x]
   
5. (*得到蚂蚁的位移常微分方程的表达式*)
   
6. yy=y[x]/.Flatten@FullSimplify[eq]
   
7. (*求得蚂蚁和重点重合所需要的时间,其中一个解答无意义被略去*)
   
8. Solve[yy==c+b*x,{x}]
   

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mathematica

上面是和终点重合,不是重点!
论坛的代码弄上去没有颜色,以致于我不得不弄图片上来!

mathematica

这个问题怎么可能用初等数学来解决?答案的结果里出现了e,而这个结果是唯一的,
因此初等数学的求解结果也必然含有e,即使是初等数学,也必然是这个结果的泰勒展开!

mathematica

从最终的求解结果来看,只要长度,终点速度,蚂蚁速度都大于零,就一定能够重合!

mathematica

我反对什么初等办法,就好像小学里面的鸡兔同笼问题,老是想用算术的办法解决,到了初中用
方程的办法解决,多么地容易理解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?
把高等的问题,化成初等的问题,就叫做奥赛!纯粹是折磨人!

mathematica

从结果可以看出重合的时间与绳子的长度成正比!