一平面被n个相交的圆最多可分割为多少个区域

wsc810

在画集合的文氏图时想到的一个问题，并将每一个最小集用布尔变量表示出来之后，问其中不能表示的数是多少？     发现当n等于4时，平面被分割为14部分，不能表示的数是10和9，n等于5,6以及更大数的情况是怎样的呢？

sheng_jianguo

这个问题的推导方法是递推，先看多加一个圆后增加了多少个交点，在K个圆上再加一个圆至多能增加2K个交点，又增加n个交点就多了n块区域，故在K个圆上再加一个圆至多能增加2K块区域。所以一个圆最多分2部分，两个圆最多分2+2=4部分，三个圆最多分4+4=8部分，四个圆最多分8+6=14部分，五个圆最多分14+8=22部分，六个圆最多分22+10=32部分。
推广到n个圆，n个圆最多将平面分成
2+2(1+2+3+…+n-1)=2+n(n-1)=n^2-n+2部分。