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[转载] 一道愚人节的经典数学趣题及数的整除性

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发表于 2008-4-4 08:54:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=20055

这是Leo Moser为愚人节所作的一道趣味数学题(转引自Raymond Blum等人写的书classic mathemagic)。
下面是一个28位数,不过空缺了10个数字。把空缺的数字填上数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,每个只数字使用一次。
5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76 问题是,这些28位数能够被396整除的概率是多少?
乍一看,这是一个非常棘手的问题。
这里有非常多不同的填法,共有10!种不同的方式,也就是能形成3628800个不同的28位数。这么多的被除数,除数也很大,如果一个个数去算,得需要多少时间呀。如果你会计算机编程,也许得到答案要快得多。
也许作者希望你一个个数地尝试,消耗掉你的精力和耐心,直到放弃对这道题的努力。因为这道趣味数学题出现在愚人节里。
且慢,不要被作者牵着鼻子走,让我们先来看看有没有判断一个大数被某些数整除的捷径。
(2)若干除数的整除性快速判段
关于2:一个整数的末位是偶数,则这个数能被2整除。
关于3:一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
关于4:一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
关于5:一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
关于6:一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
关于7:一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7
的倍数,则原数能被7整除。 因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×(x-2y)+21y,
如果x-2y能被7整除,则数N能被7整除。多于两位数的继续此操作。
关于8:一个整数的未尾三位数能被8整除,这个数能被8整除。
关于9:一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
关于11:一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11
整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×(x-y)+11y,如果x-y能被11整除,
则数N能被11整除。
关于13:一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是
13的倍数,则原数能被13整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×(x+4y)-39y,
如果x+4y能被13整除,则数N能被13整除。
关于17:一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17
的倍数,则原数能被17整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×(x-5y)+51y,
如果x-5y能被17整除,则数N能被7整除。
关于19:一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是
19的倍数,则原数能被19整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×(x+2y)-19y,
如果x+2y能被19整除,则数N能被19整除。
(3)关于除数为7、11、13的1001法
判断较大一个的6位数能否被7、11、13整除,还有一个快捷的“1001”法。
因为1001=7×11×13,1001能被7、11、13整除。一个数能被7、11、13整除的数减去1001及其倍数也能被7、11、13整除。
aba的1001倍等于把abc再写一遍放在后边, abc×1001=abcabc
例如,897654能否被7整除,可以先计算897654-896896,看得数能否被7整除。
(4)396作为除数
现在,来寻找解答上述趣味题的方法。
因为,396=4×9×11,一个数要被396整除,要同时满足3个条件:末两位被4整除,所有数字和北9整除,奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。
这些28位数末两位为76,能被4整除,所以不管其余空白数怎么填写,所有大数都能被4整除。
已经给出的所有数字和能被9整除,空白数字0-9的数字和也能被9整除,所以不管空白数怎么填写,所有大数都能被9整除。
我们发现,所有的空白数都出现偶数位上,整道题的机关就在这里。现在,我们已经非常接近答案了。剩下的过程和结论留给大家继续吧。
我不得不佩服作者出题的巧妙。
(5)也是一道趣味题:用1和0构造平方数
在本文结束前,也给愚人节出一个趣味数学题:
使用3个1和若干个0构成一个任意大的数,使它是一个完全平方数。注意,想要多少个0、0在任何位置都行。
完成这个平方数后,使用3个2和若干个0做同样的事。
如果你还有精力,不妨再攀登高峰,尝试用30个1或者300个1、若干个0做同样的事情。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-1-30 18:09:07 | 显示全部楼层
第一个题目老早做过了,记得概率是100%
第二个趣味题,任何一个平方数都不可能除以9余3.除以9余6。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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