一道愚人节的经典数学趣题及数的整除性

无心人

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这是Leo Moser为愚人节所作的一道趣味数学题（转引自Raymond Blum等人写的书classic mathemagic）。
下面是一个28位数，不过空缺了10个数字。把空缺的数字填上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，每个只数字使用一次。
5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76 问题是，这些28位数能够被396整除的概率是多少？
乍一看，这是一个非常棘手的问题。
这里有非常多不同的填法，共有10！种不同的方式，也就是能形成3628800个不同的28位数。这么多的被除数，除数也很大，如果一个个数去算，得需要多少时间呀。如果你会计算机编程，也许得到答案要快得多。
也许作者希望你一个个数地尝试，消耗掉你的精力和耐心，直到放弃对这道题的努力。因为这道趣味数学题出现在愚人节里。
且慢，不要被作者牵着鼻子走，让我们先来看看有没有判断一个大数被某些数整除的捷径。
（2）若干除数的整除性快速判段
关于2：一个整数的末位是偶数，则这个数能被2整除。
关于3：一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
关于4：一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
关于5：一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
关于6：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
关于7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7
的倍数，则原数能被7整除。 因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-2y）+21y，
如果x-2y能被7整除，则数N能被7整除。多于两位数的继续此操作。
关于8：一个整数的未尾三位数能被8整除，这个数能被8整除。
关于9：一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
关于11：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11
整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-y）+11y，如果x-y能被11整除，
则数N能被11整除。
关于13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是
13的倍数，则原数能被13整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x+4y）-39y，
如果x+4y能被13整除，则数N能被13整除。
关于17：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17
的倍数，则原数能被17整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-5y）+51y，
如果x-5y能被17整除，则数N能被7整除。
关于19：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是
19的倍数，则原数能被19整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x+2y）-19y，
如果x+2y能被19整除，则数N能被19整除。
（3）关于除数为7、11、13的1001法
判断较大一个的6位数能否被7、11、13整除，还有一个快捷的“1001”法。
因为1001=7×11×13，1001能被7、11、13整除。一个数能被7、11、13整除的数减去1001及其倍数也能被7、11、13整除。
aba的1001倍等于把abc再写一遍放在后边， abc×1001=abcabc
例如，897654能否被7整除，可以先计算897654-896896，看得数能否被7整除。
（4）396作为除数
现在，来寻找解答上述趣味题的方法。
因为，396=4×9×11，一个数要被396整除，要同时满足3个条件：末两位被4整除，所有数字和北9整除，奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。
这些28位数末两位为76，能被4整除，所以不管其余空白数怎么填写，所有大数都能被4整除。
已经给出的所有数字和能被9整除，空白数字0-9的数字和也能被9整除，所以不管空白数怎么填写，所有大数都能被9整除。
我们发现，所有的空白数都出现偶数位上，整道题的机关就在这里。现在，我们已经非常接近答案了。剩下的过程和结论留给大家继续吧。
我不得不佩服作者出题的巧妙。
（5）也是一道趣味题：用1和0构造平方数
在本文结束前，也给愚人节出一个趣味数学题：
使用3个1和若干个0构成一个任意大的数，使它是一个完全平方数。注意，想要多少个0、0在任何位置都行。
完成这个平方数后，使用3个2和若干个0做同样的事。
如果你还有精力，不妨再攀登高峰，尝试用30个1或者300个1、若干个0做同样的事情。

manthanein

第一个题目老早做过了，记得概率是100%
第二个趣味题，任何一个平方数都不可能除以9余3.除以9余6。