解剖一个数列

KeyTo9_Fans

设数列$C_0(n)=c_0+n^(-1.75)+a*n^(-3.4)$，$n>=1$，其中$c_0$和$a$都是一个常数。 令$A_1(n)=C_0(n)-C_0(n-1)$，$n>=2$ $B_1(n)=[A_1(n)]^{-1/p_1}$，$n>=2$ $C_1(n)=B_1(n)-B_1(n-1)$，$n>=3$ 问题$1$：设$c_1=lim_{n->\infty}C_1(n)$，问当$p_1$取何值时，$c_1$存在且大于$0$？ 在$c_1$存在且大于$0$的前提下， 令$A_2(n)=C_1(n)-C_1(n-1)$，$n>=4$ $B_2(n)=[A_2(n)]^{-1/p_2}$，$n>=4$ $C_2(n)=B_2(n)-B_2(n-1)$，$n>=5$ 问题$2$：设$c_2=lim_{n->\infty}C_2(n)$，问当$p_2$取何值时，$c_2$存在且大于$0$？ 在$c_2$存在且大于$0$的前提下， 令$A_3(n)=C_2(n)-C_2(n-1)$，$n>=6$ $B_3(n)=[A_3(n)]^{-1/p_3}$，$n>=6$ $C_3(n)=B_3(n)-B_3(n-1)$，$n>=7$ 问题$3$：设$c_3=lim_{n->\infty}C_3(n)$，问当$p_3$取何值时，$c_3$存在且大于$0$？ 在$c_3$存在且大于$0$的前提下， 令$A_4(n)=C_3(n)-C_3(n-1)$，$n>=8$ $B_4(n)=[A_4(n)]^{-1/p_4}$，$n>=8$ $C_4(n)=B_4(n)-B_4(n-1)$，$n>=9$ 问题$4$：设$c_4=lim_{n->\infty}C_4(n)$，问当$p_4$取何值时，$c_4$存在且大于$0$？ 依次类推，可得数列$A_5(n)$、$B_5(n)$、$C_5(n)$、…… 问题$5$：参数$p_1$,$p_2$,$p_3$,$p_4$,$p_5$,……有什么规律？ 不要光给一个答案，最好有过程。

wayne

1# KeyTo9_Fans 这么多的文字，一定很麻烦很难，能用软件给出答案就很不简单了

KeyTo9_Fans

我就是希望能用软件帮我解决这个问题， 因为C++里面double类型的精度满足不了要求， 算到$C_3(n)$就出现了较大的误差，无法继续算下去了。 ##### 另外，题目有点问题，负数的负无理数次幂没有意义， 所以相邻两项作差的时候应该取绝对值，以保证$A$数列是正的。 现更正如下： $A_1(n)=|C_0(n)-C_0(n-1)|$，$n>=2$ $A_2(n)=|C_1(n)-C_1(n-1)|$，$n>=4$ $A_3(n)=|C_2(n)-C_2(n-1)|$，$n>=6$ $A_4(n)=|C_3(n)-C_3(n-1)|$，$n>=8$ 依次类推。

mathe

$1/{n^a}-1/{(n+1)^a} ~= a/n^{1+a}$ 而我们要求$B_1(n) ~= hn$

wayne

3# KeyTo9_Fans 发现只要p<0,极限c都存在，为1

mathe

$A_1(n)~=1.75*n^-2.75$ 所以要求$p_1=2.75,B(n)~=1.75^-2.75*n,c_1=1.75^-2.75$

mathe

当然如果还需要计算$p_2$,那么就需要使用更高阶的泰勒展开了，比如 $1/{(n+1)^a}=1/n^a*1/{(1+1/n)^a}=1/n^a(1-a/n+{(a+1)a}/{2n^2}-...)

KeyTo9_Fans

我想到的也是这个方法，可是手算太麻烦。 算到$p_2$就发现要展开的项太多，需要花大量的时间一项一项地算。 所以我希望能借助一些数学软件来完成这个繁琐的计算工作，最终找到参数$p_i$的规律。

mathe

这个就要自己编程了.比如Pari/Gp里面,如果你的指数都是整数,软件本身就可以很容易支持泰勒展开,但是使用了非整数指数,那么就需要自己来小心编程了

mathe

这个$p_i$的规律是很难的.计算前面几项还会比较简单,但是越到后面越不可能计算.