解剖一个数列

KeyTo9_Fans

设数列$C_0(n)=c_0+n^(-1.75)+a*n^(-3.4)$，$n>=1$，其中$c_0$和$a$都是一个常数。

令$A_1(n)=C_0(n)-C_0(n-1)$，$n>=2$

$B_1(n)=[A_1(n)]^{-1/p_1}$，$n>=2$

$C_1(n)=B_1(n)-B_1(n-1)$，$n>=3$

问题$1$：设$c_1=lim_{n->\infty}C_1(n)$，问当$p_1$取何值时，$c_1$存在且大于$0$？

在$c_1$存在且大于$0$的前提下，

令$A_2(n)=C_1(n)-C_1(n-1)$，$n>=4$

$B_2(n)=[A_2(n)]^{-1/p_2}$，$n>=4$

$C_2(n)=B_2(n)-B_2(n-1)$，$n>=5$

问题$2$：设$c_2=lim_{n->\infty}C_2(n)$，问当$p_2$取何值时，$c_2$存在且大于$0$？

在$c_2$存在且大于$0$的前提下，

令$A_3(n)=C_2(n)-C_2(n-1)$，$n>=6$

$B_3(n)=[A_3(n)]^{-1/p_3}$，$n>=6$

$C_3(n)=B_3(n)-B_3(n-1)$，$n>=7$

问题$3$：设$c_3=lim_{n->\infty}C_3(n)$，问当$p_3$取何值时，$c_3$存在且大于$0$？

在$c_3$存在且大于$0$的前提下，

令$A_4(n)=C_3(n)-C_3(n-1)$，$n>=8$

$B_4(n)=[A_4(n)]^{-1/p_4}$，$n>=8$

$C_4(n)=B_4(n)-B_4(n-1)$，$n>=9$

问题$4$：设$c_4=lim_{n->\infty}C_4(n)$，问当$p_4$取何值时，$c_4$存在且大于$0$？

依次类推，可得数列$A_5(n)$、$B_5(n)$、$C_5(n)$、……

问题$5$：参数$p_1$,$p_2$,$p_3$,$p_4$,$p_5$,……有什么规律？

不要光给一个答案，最好有过程。

wayne

1# KeyTo9_Fans
这么多的文字，一定很麻烦很难，能用软件给出答案就很不简单了

KeyTo9_Fans

我就是希望能用软件帮我解决这个问题，

因为C++里面double类型的精度满足不了要求，

算到$C_3(n)$就出现了较大的误差，无法继续算下去了。

#####

另外，题目有点问题，负数的负无理数次幂没有意义，

所以相邻两项作差的时候应该取绝对值，以保证$A$数列是正的。

现更正如下：

$A_1(n)=|C_0(n)-C_0(n-1)|$，$n>=2$

$A_2(n)=|C_1(n)-C_1(n-1)|$，$n>=4$

$A_3(n)=|C_2(n)-C_2(n-1)|$，$n>=6$

$A_4(n)=|C_3(n)-C_3(n-1)|$，$n>=8$

依次类推。

mathe

$1/{n^a}-1/{(n+1)^a} ~= a/n^{1+a}$
而我们要求$B_1(n) ~= hn$

wayne

3# KeyTo9_Fans

发现只要p<0,极限c都存在，为1

mathe

$A_1(n)~=1.75*n^-2.75$
所以要求$p_1=2.75,B(n)~=1.75^-2.75*n,c_1=1.75^-2.75$

mathe

当然如果还需要计算$p_2$,那么就需要使用更高阶的泰勒展开了，比如
$1/{(n+1)^a}=1/n^a*1/{(1+1/n)^a}=1/n^a(1-a/n+{(a+1)a}/{2n^2}-...)

KeyTo9_Fans

我想到的也是这个方法，可是手算太麻烦。

算到$p_2$就发现要展开的项太多，需要花大量的时间一项一项地算。

所以我希望能借助一些数学软件来完成这个繁琐的计算工作，最终找到参数$p_i$的规律。

mathe

这个就要自己编程了.比如Pari/Gp里面,如果你的指数都是整数,软件本身就可以很容易支持泰勒展开,但是使用了非整数指数,那么就需要自己来小心编程了

mathe

这个$p_i$的规律是很难的.计算前面几项还会比较简单,但是越到后面越不可能计算.