勾股数与一类pell方程最小解的统一公式

wsc810

设a=m^2-n^2
b=2mn，c=m^2+n^2
如果有ay - bx=-1
(a*k+x)^2+(b*k+y)^2=c^2*k^2+2k(ax+by)+(x^2+y^2)=D
利用关系式得Pell方程
(c^2*k+(ax+by))^2 - D*c^2= -1
例如，令a=5,b=12，c=13，得x=3，y=7
D=169k^2+198k+58.便得一类Pell方程
(169k+99)^2-D*13^2=-1，已知同一类Pell方程具有相同的周期
由于pell方程式中的整数的连分式周期与因子分解密切相关，希望大家多对其研究，以上想法源自数学中国中luyuanhong的一片帖子《整数平方根的连分数表示中的规律》大家可搜索

mathe

每个k仅对应一个D,这不过构造一个特解，而不是通解。而且D依赖于k,而不具有一般性。另外计算过程怎么感觉也有点问题

wsc810

通过对实例的研究，发现若x^2-d*y^2=-1
如果y的值相同，则
Sqrt(d)=[a0;a1,a2, … ,2a0]中只有a0,  2a0不同外，中间的值都相同。例如,取
D=169k^2 - 2*99k+58
k=1,2,25时分别有
Sqrt(29)=[5;2,1,1,2,10]
Sqrt(338)=[18;2,1,1,2,36]
Sqrt(100733)=[317;2,1,1,2,634]
D=169k^2+2*99k+58
k=1,2,25时，分别有
Sqrt(425)=[20;1,1,1,1,1,1,40]
Sqrt(1130)=[33;1,1,1,1,1,1,66]
Sqrt(110633)=[332;1,1,1,1,1,1,664]
不知是否只有这两种结构。

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发现了更具一般的类
Pell方程的通解表达式
设x^2 - d*y^2=-1
D=(yk)^2 + 2x*k +d则有(y^2*k + x) - D*y^2=-1
k也可取负值，但是其展开式是另外一种结构。

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由连分式基本知识可以推得若
x^2 - dy^2=-1有解
则y一定可以写成两平方和的形式

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由pell方程可知，许多具有y相同解的值在同一个类当中，那么我们就要问给定任意一个D.它是否是同一类中最小的d.下面的方法能判断并给出最小d值，
设(x,y)满足pell方程的最小解，并记
x=s( mod y).
A=Int(sqrt(D))
Q=D-A^2
则有
A0=A( mod y)
Q0=Q( mod 2s)
d=(A0)^2+Q0