不能写成3个平方数之和的正整数

mathe

从第二页起我就看不懂了，呵呵
wayne 发表于 2011-3-26 08:33

第二页开始需要线性代数的知识，主要是矩阵运算，应该不是很难

wayne

31# mathe
就一个 同幺模矩阵 足可惧我于千里之外

mathe

幺模矩阵的概念应该不复杂呀，就是整系数行列式为1的矩阵。而第一步说明其逆也是幺模矩阵，所以构成一个乘法群，所以就比较有用。后面就基本上是正定二次型的东西，主要用到关于幺模矩阵的合同变换。实际上就是分析一些二次的不定方程，但是借用了矩阵的方法来描述

王守恩

设数列{An}是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 071, 079, 087, 092, 095, 103, 111, 112, 119, 124, 127,
135, 143, 151, 156, 159, 167, 175, 183, 188, 191, 199, 207, 215, 220, 223, 231, 239, 240, 247, 252, 255,
263, 271, 279, 284, 287, 295, 303, 311, 316, 319, 327, 335, 343, 348, 351, 359, 367, 368, 375, 380, 383,
391, 399, 407, 412, 415, 423, 431, 439, 444, 447, 448, 455, 463, 471, 476, 479, 487, 495, 496, ............

我找了个粗糙的节点通项，渴望能引出细腻的通项公式。谢谢大家！

\(a\left(\frac{7×4^n-4}{6}\right)=7×4^n\)，譬如：

a(4)=28
a(18)=112
a(74)=448
a(298)=1792
a(1194)=7168
a(4778)=28672
a(19114)=114688
a(76458)=458752
a(305834)=1835008




补充内容 (2018-10-28 15:52):
虽然有粗糙的节点通项在前面给我们指引道路，但细腻的通项还是不好找。

王守恩

王守恩 发表于 2018-10-25 11:38
设数列{An}是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 0 ...

设数列\(\ \ \{An\}\ \ \)是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 071, 079, 087, 092, 095, 103, 111, 112, 119, 124, 127,
135, 143, 151, 156, 159, 167, 175, 183, 188, 191, 199, 207, 215, 220, 223, 231, 239, 240, 247, 252, 255,
263, 271, 279, 284, 287, 295, 303, 311, 316, 319, 327, 335, 343, 348, 351, 359, 367, 368, 375, 380, 383,
391, 399, 407, 412, 415, 423, 431, 439, 444, 447, 448, 455, 463, 471, 476, 479, 487, 495, 496, ............

求证：\(\{An\}-6n\ne 2\)

a(n)={An}
a(1)=7
a(2)=15
a(3)=23
a(4)=28
a(5)=31
a(6)=39
a(7)=47
a(8)=55
a(9)=60
''''''''''

王守恩

王守恩 发表于 2018-10-25 11:38
设数列{An}是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 0 ...

数列{An}是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 071, 079, 087, 092, 095, 103, 111, 112, 119, 124, 127,
135, 143, 151, 156, 159, 167, 175, 183, 188, 191, 199, 207, 215, 220, 223, 231, 239, 240, 247, 252, 255,
263, 271, 279, 284, 287, 295, 303, 311, 316, 319, 327, 335, 343, 348, 351, 359, 367, 368, 375, 380, 383,
391, 399, 407, 412, 415, 423, 431, 439, 444, 447, 448, 455, 463, 471, 476, 479, 487, 495, 496, ............
求证：数列{An}好像还是不能写成3个有理数平方之和的正整数数列？

mathematica

这个结论简明数论上有，但是似乎证明很难！

.·.·.

mathematica 发表于 2018-11-20 09:07
这个结论简明数论上有，但是似乎证明很难！

查了下潘成洞《初等数论》
里面有证明$4^\alpha(8k+7)$不能表示成3个非负整数的平方和
但这里并没有证明剩下的数都可以表示成3个非负平方和

葡萄糖

.·.·. 发表于 2018-11-20 18:46
查了下潘成洞《初等数论》
里面有证明$4^\alpha(8k+7)$不能表示成3个非负整数的平方和
但这里并没有证 ...

可以看看这本呀！
《数论经典著作系列 初等数论 3》陈景润

葡萄糖

.·.·. 发表于 2018-11-20 18:46
查了下潘成洞《初等数论》
里面有证明$4^\alpha(8k+7)$不能表示成3个非负整数的平方和
但这里并没有证 ...

费马双平方和定理(Fermat's two-square theorem)
https://en.wikipedia.org/wiki/Fe ... sums_of_two_squares

\(\,4n+1\,\)型的素数都可以唯一地分解为两个平方数之和

双平方和定理(Two-square theorem)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem

一个大于一的整数可以写成两个平方数之和，当且仅当的它的素数分解中不包含\(\,3\,(\rm{mod}\,4)\,\)的素数或是包含该型素数但其次数为奇数。

勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem)
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem

整数可以写成三个整数的平方和（即允许堆垒项为零），当且仅当的它不为\(\,4^a\left(8b+7\right)\,\)型的数。（其中与都取自然数）