一道积分不等式

tian27546 · 发表于 2011-3-30 12:38:56

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能不能将在贴吧的符号放到这来呢 math大哥

tian27546 · 发表于 2011-3-30 12:39:57

已知$0<f(x)<1$,无穷积分$\int_0^{+infty}f(x)dx$和$\int_0^{+infty}xf(x)dx$都收敛。
求证$\int_0^{+infty}xf(x)dx>1/2(\int_0^{+infty}f(x)dx)^2$

[mathe:]注意，输入时不要将中文放入公式里面，不然可能会变成乱码

tian27546 · 发表于 2011-3-30 12:40:16

设$F(x)=\int_x^{+infty} f(t) dt$
于是$F'(x)=-f(x),F(0)=\int_0^{+infty}f(t)dt$
于是$F'(x)> -1$,所以$F(x)>F(0)-x$
$xF(x)=int_x^{+infty}xf(t)dt<int_x^{+infty}tf(t)dt->0$
所以$lim_{x->+infty}xF(x)=0$
$\int_0^{+infty}xf(x)dx=-xF(x)|_0^{+infty}+\int_0^{+infty}F(x)dx$
$=\int_0^{+infty}F(x)dx>=\int_0^{F(0)}F(x)dx>\int_0^{F(0)}(F(0)-x)dx={F(0)^2}/2$

tian27546 · 发表于 2011-3-30 13:08:02

厉害

tian27546 · 发表于 2011-3-30 13:09:48

math 大哥你看看这个怎么来严格说明他呢

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[讨论] 一道积分不等式

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