继续不等式问题

tian27546

mathe

假设$|f(x+y)-f(x)-f(y)|<=M$,于是$-M+f(x)+f(y)<=f(x+y)<=M+f(x)+f(y)$
我们取$x>0,y=nx$代入得到$-M+f(x)+f(nx)<=f((n+1)x)<=M+f(x)+f(nx)$
于是我们可以得出$-nM+(n+1)f(x)<=f((n+1)x)<=nM+(n+1)f(x)$
于是$-M/xn/{n+1}+{f(x)}/x<={f((n+1)x)}/{(n+1)x}<=M/xn/{n+1}+{f(x)}/x$
我们取$g(x)={f(x)}/x,x>1$,于是$|{f(nx)}/{nx}-{f(x)}/x|<=M/x$.
于是任意选择$x_0>0$,我们先证明$lim_{n->+infty}g(nx_0)$存在。
任取$e>0$,假设存在两个不同正整数子列${u_i},{v_i}$使得$g(u_ix_0),g(v_ix_0)$收敛于不同极限a,b
于是对于充分大的$u_i,v_i$，我们可以得出$|g(u_ix_0)-g(v_ix_0)|<=|g(u_ix_0)-g(k*u_iv_ix_0)|+|g(k*u_iv_ix_0)-g(v_ix_0)|$而这个极限随着k的增大趋向0，得出矛盾。
其次，我们可以证明对于任意有理数q,$lim_{q->+infty}g(qx_0)$存在，方法同上面类似。
然后根据函数连续性可以得出$lim_{x->+infty}g(x)$存在。
同样可以得出$lim_{x->-infty}{f(x)}/x$存在,然后验算两者相等，最后可以解决问题

tian27546

额 想到了与柯西方程的证法 类似 就是不知道怎么严格说明 看完了math大哥的证明 很感叹啊 谢谢你了 希望以后多交留哦 把sup改成inf应该也是成立的