关于∑C(mk,k)x^k与m次方程的关系式

sir_chen

对于幂级数$y(x)=\sum_{k=0}^\inftyC_{m*k}^kx^k$ , 其中$ |x|<(m-1)^{m-1}/m^m, m in NN$, 通过计算$m=3,4,5$的情况, 发现其可以表示为超几何函数:
${::}_(\ m-1)F_{m-2}(1/m,2/m,..., {m-1}/m; 1/{m-1},2/{m-1}, ..., {m-2}/{m-1}; m^m/(m-1)^{m-1}x)$
这个公式我随机选取了几个m进行了验证, 发现都是正确的, 不知谁能帮忙证明一下.
同时我又发现上面的幂级数恰好是关于y的m次方程的一根:
$((m-1)^{m-1}-m^mx)y^m-a_{m-2}y^{m-2}-a_{m-3}y^{m-3}-...-a_1y=1$
上式$a_1,a_2,...,a_{m-2}$为待定系数, 通过数值计算得到$m=2, 3, ..., 9$对应的特征方程:
$(1-2^2x)y^2=1$
$(2^2-3^3x)y^3-1*3*y=1$
$(3^3-4^4x)y^4-18y^2-2*4*y=1$
$(4^4-5^5x)y^5-160y^3-80y^2-3*5*y=1$
$(5^5-6^6x)y^6-1875y^4-1000y^3-225y^2-4*6*y=1$
$(6^6-7^7x)y^7-27216y^5-15120y^4-3780y^3-504y^2-5*7*y=1$
$(7^7-8^8x)y^8-470596y^6-268912y^5-72030y^4-10976y^3-980y^2-6*8*y=1$
$(8^8-9^9x)y^9-9437184y^7-5505024y^6-1548288^5-258048y^4-26880y^3-1728y^2-7*9*y=1$
不知谁能总结出${a_n}$的通项公式或是递推式.

sir_chen

这道题很难, 没人解答, 谁帮我证明一下m=3时的情形也可以啊

wsc810

去数学中国找
luyuanhonga吧，或许能给你解决