数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 14128|回复: 26

[讨论] 光子之约

[复制链接]
发表于 2011-4-20 03:04:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
      据说有个教堂(啥名字忘了),站在里面的某个特殊地点能够十分清晰的听到牧师(或者神甫)的讲话。原来教堂内有椭圆弧的壁(不清楚是穹顶还是墙壁),牧师讲话的地方正是椭圆弧的一个焦点,而那个能特别清晰地听到牧师话音的地方是椭圆弧的另一个焦点。
精华
为什么椭圆弧具有这种效果,高中生会告诉你:因为椭圆弧的光学(反射)性质。椭圆的那两个定点叫做焦点,正是来源于这个性质(光线会聚点叫做焦点,则是因为会聚的太阳光能把东西烤焦)。

  不过,高中生回答的并不完全。为了听清楚牧师的话音,椭圆弧仅有反射聚焦性质是不够的,还必须具有波程相等的性质,即从牧师处(焦点$1$)发出的任意方向的声波碰到椭圆壁反射后再到达焦点$2$处时走过的距离都相等。只有这样,听者听到的才不会是重音(一连串的回声)。“碰巧”的是,椭圆刚好同时具备这两个性质——这才成全了那个教堂的建筑设计师。也许你对这种巧合不以为奇,无动于衷,但是那位建筑师却感天念地,顶礼膜拜,因为他深信这是自己向上帝祈祷的结果,是上帝对虔诚的信徒的眷顾。
  上帝的美妙安排,一定有简明的数学背景。
  椭圆作为“平面上到两定点的距离之和相等的点的轨迹”,其代数方程\[\begin{equation}\rho_1+\rho_2=C\end{equation}\](`\rho_1` 和 `\rho_2` 是椭圆上任一点到两焦点的距离,`C` 是一个正常数)
表达了椭圆的等波程性,但从中我们完全看不出反射聚焦的性质。
  当我们讨论一般椭圆的性质时,`C`作为一个任意常数,它的具体值并不重要,含冗余参数的形式可能不利于问题的解决。使用不含 `C` 的微分形式的等波程方程\[\begin{equation}\dif\rho_1+\dif\rho_2=0\end{equation}\]可能更有利于揭示内在联系。由 `\dif\rho_i=\nabla\rho_i\cdot d\vec{s}` 可得\[\begin{equation}\nabla\rho_1\cdot \dif\vec{s}+\nabla\rho_2\cdot \dif\vec{s}=0\end{equation}\]我们知道,曲线上的反射定律的微分方程为\[\begin{equation}\tau_1\cdot \dif\vec{s}-\tau_2\cdot \dif\vec{s}=0\end{equation}\]这里`\tau_1,\tau_2`分别为入射光矢量和反射光矢量。
梯度$\grad\rho$有一个特殊的几何解释:如果动点$P(x,y)$到定点$A$的距离为$\rho(x,y)$,那么$\grad\rho$就是$AP$方向的单位向量。因此\[\nabla\rho_1=\tau_1,\nabla\rho_2=-\tau_2\]代入(3)式后恰好得到(4)式, 表达了椭圆的反射聚焦性质。
      `\dif\rho_i=\nabla\rho_i\cdot \dif\vec{s}`将椭圆的等波程方程(2)和反射聚焦方程 (3)等价起来,合二为一。
      上帝的秘密原来如此。

  圆也是一个简单的聚焦镜,从圆心发出的光线会重新会聚于圆心。作为“到定点的距离等于定长的点的轨迹”,圆的代数方程
$\rho=C$

表达了等波程性,相应的微分方程连等式
\[\dif \rho=\nabla\rho\cdot \dif \vec{s}=0\]同样将等波程性和反射聚焦性等价连接起来。
  仿佛,从一个点光源同时发出的各个方向的光子有一种约定:今后若有机会经过同一个地点,一定要同时达到,再次聚首。
  光子之约,诚可信乎?
  让我们再来看2个如约的例子。
  图1为两个同轴的抛物面镜。从焦点$F_1$发出的光线先后经两抛物面镜反射会聚于$F_2$。光程恒等于两准线的距离。
1.png

图1

  图2为1个椭圆与一个双曲线正对放置。$F_1$和$F_3$是双曲线的焦点,$F_2$和$F_3$是椭圆的焦点。从$F_1$发出的光线先后经双曲线和椭圆反射后会聚于$F_2$,光程恒为椭圆长轴与双曲线实轴之差。
  此例中双曲线退化为直线时是比较简单的情形($F_1$与$F_3$关于直线对称)。
2.png

图2

  一个容易想到的违约例子是图3所示的不规则齿轮,从圆心发出的光线从齿面上反射回来首次聚焦于圆心的时间,各个扇区彼此不同:
3.png

图3

  图3的违约是因为反射曲线是“拼凑”的。我们不讨论这种“拼凑”的情况(但是可以讨论“拼凑”的定义)。
4.png

图4

  图4所示为一段圆弧$C$和它的一条校正曲线$L$,从$F_1$发出的光线先后经$C$和$L$反射后聚焦于$F_2$。($L$可以看作单向镜,即从左侧射到$L$上的光线会完全透过$L$射到$C$上,而从右侧射到$L$上的光线会完全反射。
  请问,这种情况下光子仍然守约吗?类似这样的一般情况呢?
  从一个点光源发出的扩散角为A的光束经过若干非拼凑曲线反射后聚焦了,光子之约仍然有效吗?
  掺入折射呢?(掺入折射时光程以时间计,即同时就行)。甚至图5所示的极端情况下,光子之约仍然有效吗?
5.png

图5  光在密度不均匀的空气中发生弯曲,产生海市蜃楼现象。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-4-20 03:34:49 | 显示全部楼层
有图的PDF文档
光子之约.PDF (380.62 KB, 下载次数: 55)

评分

参与人数 1金币 +2 贡献 +4 收起 理由
数学星空 + 2 + 4 多谢,辛苦了!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-20 08:33:28 | 显示全部楼层
花了半小时,将主题帖编辑成与2#pdf文档一致的浏览效果。

评分

参与人数 1金币 +2 贡献 +2 收起 理由
数学星空 + 2 + 2 多谢,辛苦了!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-20 11:04:51 | 显示全部楼层
标题很美,还图文并茂
真是一种享受啊
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-4-20 12:33:21 | 显示全部楼层
花了半小时,将主题帖编辑成与2#pdf文档一致的浏览效果。
gxqcn 发表于 2011-4-20 08:33

谢谢,辛苦了。最近确实忙了点,东西没做完好就发上来了,因为今年贡献太少,所以免为其难发一帖。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-20 21:24:16 | 显示全部楼层
嗯,感谢,hujunhua和gxqcn两位版主的无私奉献,写的很有内含,简洁而不简单.....
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-22 12:37:34 | 显示全部楼层
的确,简约而不简单
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-22 20:10:55 | 显示全部楼层
想问一下,楼主的PDF文档是怎样制作的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-4-23 14:04:15 | 显示全部楼层
PDF文档可以用word2007以后的版本制作,也可以用Foxit Creator、Adobe Acrobat等软件安装的虚拟打印机制作.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-4-23 14:12:25 | 显示全部楼层
8# liangbch

hujunhua版主用的是 microsoft word 2010

9# hujunhua

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-9-27 11:40 , Processed in 0.066393 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表