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本帖最后由 plp626 于 2011-5-10 18:46 编辑
设$a_1,a_2,... ,a_n,lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,r,varepsilon$ 均为正数,
且$lambda_1+lambda_2+...+lambda_n=1$
则有论断(未证明,欢迎给出反例,若正确欢迎给出简洁直观的严格证明):
$1/{lambda_1*1/a_1+lambda_2*1/a_2+...+ lambda_n*1/a_n}<=$
$a_1^{lambda_1}*a_2^{lambda_2}*...*a_n^{lambda_n}<=$
$(lambda_1*a_1^r+lambda_2*a_2^r+...+lambda_n*a_n^r)^(1/r)<=$
$(lambda_1*a_1^(r+varepsilon)+lambda_2*a_2^(r+varepsilon)+...+lambda_n*a_n^(r+varepsilon))^(1/{r+varepsilon})$ 简记为:
加权调和平均数<=加权几何平均数<=加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数
(算术平均数可以看做权重相等的n个数的一次幂平均数)
【error *****************************************************
当0加权调和平均数<=
加权低$1/D$次幂平均数<=加权几何平均数<=加权高$1/D$次幂平均数<=
加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数
***************************************************** error】
取$n=2, lambda_1=lambda_2=0.5,r=0.5,1,varepsilon=1,2$便得到我们熟悉的不等式:
$2/{1/a_1+1/a_2}<= sqrt(a_1*a_2)<=({sqrt(a_1)+sqrt(a_2)}/2)^2<={a_1+a_2}/2<=root{2}{(a_1^2+a_2^2)/2}<=root{3}{(a_1^3+a_2^3)/2}$
另外,本人想把holder不等式(柯西不等式可看做它的特殊情形)闵可夫斯基不等式,契比雪夫不等式,詹森不等式,也大统一到上面的加权不等式中,那位能提供个思路,或者直接给出结果?
谢谢大家关注此贴,谢谢。 |
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