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[讨论] 平均值不等式大统一

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发表于 2011-5-10 11:59:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 plp626 于 2011-5-10 18:46 编辑 设$a_1,a_2,... ,a_n,lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,r,varepsilon$ 均为正数, 且$lambda_1+lambda_2+...+lambda_n=1$ 则有论断(未证明,欢迎给出反例,若正确欢迎给出简洁直观的严格证明):
$1/{lambda_1*1/a_1+lambda_2*1/a_2+...+ lambda_n*1/a_n}<=$
$a_1^{lambda_1}*a_2^{lambda_2}*...*a_n^{lambda_n}<=$
$(lambda_1*a_1^r+lambda_2*a_2^r+...+lambda_n*a_n^r)^(1/r)<=$
$(lambda_1*a_1^(r+varepsilon)+lambda_2*a_2^(r+varepsilon)+...+lambda_n*a_n^(r+varepsilon))^(1/{r+varepsilon})$
简记为: 加权调和平均数<=加权几何平均数<=加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数 (算术平均数可以看做权重相等的n个数的一次幂平均数) 【error *****************************************************
当0加权调和平均数<= 加权低$1/D$次幂平均数<=加权几何平均数<=加权高$1/D$次幂平均数<= 加权低次幂平均数<=加权高次幂平均数
***************************************************** error】 取$n=2, lambda_1=lambda_2=0.5,r=0.5,1,varepsilon=1,2$便得到我们熟悉的不等式:
$2/{1/a_1+1/a_2}<= sqrt(a_1*a_2)<=({sqrt(a_1)+sqrt(a_2)}/2)^2<={a_1+a_2}/2<=root{2}{(a_1^2+a_2^2)/2}<=root{3}{(a_1^3+a_2^3)/2}$
另外,本人想把holder不等式(柯西不等式可看做它的特殊情形)闵可夫斯基不等式,契比雪夫不等式,詹森不等式,也大统一到上面的加权不等式中,那位能提供个思路,或者直接给出结果? 谢谢大家关注此贴,谢谢。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-5-10 15:39:45 | 显示全部楼层
调和平均可以看成是n=-1的情况,几何平均可以看成是n=0的情况 http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html

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 楼主| 发表于 2011-5-10 18:27:14 | 显示全部楼层
2# wayne mathwolrd真是数学宝库啊。 我开始发帖的时候是猜想,调和平均数<=几何平均数<=低次幂平均数<= 高次幂平均数 但是发现 $M_{p=1/3}(a,b) <= G(a,b) <= M_{p=1/2}(a,b)$即: $({a^(1/3)+b^(1/3)}/2)^3<=sqrt(a*b)<=({a^(1/2)+b^(1/2)}/2)^2$ 就修改了,现在才发现我原来当时这个计算是错误的(还没明白当时怎么回事)。 所以我又可以重新说: 加权调和平均数<=加权几何平均数<=加权低次幂平均数<= 加权高次幂平均数 ====================== 不过还是觉得$M_p(...)$归纳出了数学的内在美。 ++++++++++++++++++++++ 本贴未结,还在研究中。。。
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发表于 2011-5-10 20:03:07 | 显示全部楼层
设 $x_i>=0(i=1,2,...,n)$,对应的权值 $p_i>0(i=1,2,...,n)$, 定义 $M_k=(\frac{\sum_{i=1}^{n}{p_i*x_i^k}}{\sum_{i=1}^{n}p_i})^(1//k)$, 若 $rJensen不等式 证明。

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wayne + 10 + 10 2008年1月,好老的帖子呀

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