如下同余方程怎么解（复数域）

wsc810

x^2= -1 (mod 3+10I)
除了+/-i外，有无其它解

xbtianlang

一般说来mod 的优先级高于+/-，所以（mod 3+10I）是先摸再加，还是先加再摸呢？不懂。

mathe

(3+10I)(3-10I)=109是素数，所以3+10I是高斯整环上的素数。
由于$33^2-= -1(mod 109)$,所以$33^2-= -1(mod 3+10I)$

mathe

一般说来mod 的优先级高于+/-，所以（mod 3+10I）是先摸再加，还是先加再摸呢？不懂。
xbtianlang 发表于 2011-6-6 11:20

这里应该是将同余概念推广到高斯整环$a+bI$,其中a,b都是整数。

xbtianlang

这里应该是将同余概念推广到高斯整环$a+bI$,其中a,b都是整数。
mathe 发表于 2011-6-6 11:30

这样+/-i 和 +/-33都是解，还有没有其他解呢？

mathe

由于33+I=(1-3I)(3+10I)
所以$33-= -I (mod 3+10I)$
所以这个不是新解。
而且由$x^2-= -1 (mod 3+10I)$可以得到$(x+I)(x-I) -= 0 (mod 3+10I)$
由于3+10I是高斯素数，我们得到3+10I|x+I或3+10I|x-I
即$x-= -I(mod 3+10I)$或$x-= I (mod 3+10I)$