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[欣赏] 千奇百怪的三角形

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发表于 2011-6-10 12:14:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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千奇百怪的三角形

在纸上画三角形,无论是怎样画,把三角形里面的3个角加起来,都会等于180度。即使是画上100个1000个,也绝对不会有一个例外。
那么,能不能找到一种三角形,它的内角和不等于180度呢?
在200年前,如果有谁提出了这样一个问题,准会有人对他嗤之以鼻,因为三角形内角和等于180度是几何书中的一个定理!
定理就是经过逻辑推理证明是正确的数学结论。如果有谁不信“邪”,仍要来问一声:“这个定理就一定那么可靠吗?”那么,人们就会搬来经典的著作《几何原本》,指着第5公设对他说:“瞧,这个定理的正确性可以由它来保证。”
公设也就是公理,是一种最基本的数学结论,它们的正确性经过了时间的反复证明,是不证自明的。不朽名著《几何原本》中的全部定理,都建立在10个公理的基础上,有谁赶怀疑“三角形的内角和等于180度”这个定理,也就等于怀疑第5公设有问题。如果两公理也有问题,岂不是所有的几何定理都值得怀疑了吗?
不过,有些数学家们对这个第5公设是不大满意的。这倒不是怀疑它有什么错误,而是觉得它不像其他的公理那样一目了然,很像是一个定理,于是试图用其他的9个公理把它证明出来,进而将它从公理的行列中赶出去。
《几何原本》问世后的2000多年里,数学家倾注了无穷无尽的智慧,始终也未能证明第5公设。虽然有不少人曾宣称解决了这个问题,但一检查就发现,不是证明过程有错误就是用了个更不明显的公设代替了第5公设。无可奈何之下,大数学家达朗贝尔称它是“几何学中的家丑”。
19世纪初,有个叫亚诺什-波里亚的匈牙利青年,决定献身于第5公设的研究。他父亲是个数学家,听到这个消息吓坏了。尽管父子俩天天在一起,老波里亚为了郑重其事,竟用笔给儿子写了封劝告信。
信中悲哀地说:“希望你再不要做克服平行线理论的尝试,我深知一切方法都到了尽头。在这里面,我埋没了人生的一切光明和欢乐。这是一个毫无希望的黑夜,它能使上千座牛顿那样的灯塔沉没,任何时候都不可能使大地见到光明。”
波里亚深知父亲的苦恼和失望,但他没有知难而退,义无返顾地闯进了这个“毫无希望的黑夜”。他很快就发现,只要改变第5公设,就可以创造出一中新的几何学来,于是他提出了一个新的平行公理:
“在平面内,过已知直线外一个点,至少可以作出两条与已知直线相平行的直线”

这个新公理否定了平行线的唯一性。以它为基础,再加上原来的9个公理,就组成了一门新的几何学,叫双曲几何学。凡是与旧的平行公理有关的定理,在双曲几何学中统统变得面目全非,产生回许多闻所未闻的新结论。例如,在双曲几何学中,不存在矩形,也不存在相似三角形。最有趣的是,不同的三角形就有不同的内角和,而它们又都比180度小!
能够作出一种三角形,使它的内角和小于180度?对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说,这不啻是个"荒诞无稽"的海外奇谈。连老波里亚也无法理解儿子的创造,断然拒绝了帮助发表的请求,直到1832年,由于儿子的再三请求,老波里亚才勉强同意将它作为一个附录,随同自己的著作一起出版。
老波里亚与"数学王子"高斯是大学时代的同窗好友,他把"附录"的清样寄给高斯,想听听这位数学权威的意见。1832年3月,高斯在回信中热情称赞小波里亚"有极高的天才",但同时又说,他不便公开赞许,因为称赞波里亚就等于称赞他自己。

原来,在此之前16年,高斯就已作出了同样的发现。但他小心翼翼地隐藏了自己的研究,唯恐这种新几何学在直观上的"荒诞无稽"而遭到人耻笑。

捍卫真理是需要勇气的。

早在波里亚著作发表之前6年,在遥远的俄罗斯大地上,已经有位叫罗巴切夫斯基的勇士,率先亮出了这门新几何学的旗帜。
罗巴切夫斯基是一个伟大的俄国数学家。他独立地作出了同样的发现,并为捍卫新几何学战斗了一生。当时,数学家们不理解他,认为内角和小于180度的三角形是一个"笑话",有人嘲笑他是"对有学问的数学家的讽刺"。而一些仇视革命思想的人,更是趁机对他进行恶毒的攻击和下流的谩骂。这一切都没有使罗巴切夫斯基退却,他接二连三地发表数学著作,甚至当他已成为一个瞎眼老人时,仍然念念不忘口授了一部《泛几何学》,为这门新几何学在数学王国里取得合理的地位而大声疾呼。由于罗巴切夫斯基最先昭示了新几何学的诞生,所以双曲几何学又叫罗氏几何学。
罗巴切夫斯基、波里亚和高斯,用他们创造性的工作,动摇了"只能有一种可能的几何"的传统观念,为创造不同体系的几何开辟了道路。1854年,就在人们仍在抱怨罗氏几何学"不可思议"时,高斯的学生黎曼,又给几何王国增添了一种新的几何学。

黎曼提出了另一种新的平行公理:

"在平面上,过已知直线外的一个点,不能作直线与已知直线相平行。"

这个新公理干脆否定了平行线的存在性。以它为基础,再加上原来的9个公理,就组成了椭圆几何学,也叫黎曼几何学。
在这种新的几何学里,三角形的内角和等于多少度呢?有趣得很,它既不等于180度,也不小于180度,而是大于180度。
黎曼几何学中还有许多奇妙的结论,例如,"直线的长是有限的,但却无止境。"要弄懂这些理论非常困难。据说,当黎曼第一次宣读这方面的论文时,除了高斯以外,会场上竟找不出第二个能够听懂的人。
罗氏几何学与黎曼几何学都是"纯粹人造的"几何学,与人们的常识相悖,乍看起来都显得非常不可思议。实际上,它们比传统的几何学更加深刻地反映了现实世界的空间形式。举一个最著名的例子:爱因斯坦创立的广义相对论,就是以黎曼几何学的空间概念为基础的!根据相对论学说,现实空间会发生弯曲,到处是新几何学的用武之地。
相传高斯做过一次有趣的实验,他把相距很远的3座山峰,看作是三角形的3个顶点,然后计算它的内角和,发现它竟大于180度。这正是黎曼几何学的结论。也许有人会说:"这不是一个三角形。因为它不在一个平面上,而是在地球这个曲面上!"那么,哪里去找平面呢?运动场是平面吗?池塘水面是平面吗?它们都是地球这个曲面的一部分。这样,又上哪里去找平面上的三角形呢?如果没有三角形,怎么会有内角和等于180度呢?
罗氏几何学与黎曼几何学更精确地反映了现实空间,但是,在我们的日常生活里,传统几何学已经足够精确了。在我们的视野范围内,水平面是非常接近于平面的。实际上,我们也根本无法测出它的弯曲度。这样,测量水平面上一个三角形的内角和,虽然它实际上并不等于180度,我们却无法测出它与真值之间的误差。所以,在我们身边这个不大不小的空间里,传统的几何学仍然是适用的。
因此,在纸上画三角形,无论是怎样画,把它的3个内角加起来,都会等于180度。但我们也应当知道,在数学王国里,确实还有一些"稀奇古怪"的三角形,它的内角和是不等于180度的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-6-10 14:43:20 | 显示全部楼层
数学家们真是不可思议!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-6-10 16:50:28 | 显示全部楼层
内角和小于180度的三角形是什么现实物理意义?
难道要空间做负曲率的弯曲?
需要负能量?太不可思议了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-6-10 17:41:27 | 显示全部楼层
内角和小于180度的三角形是什么现实物理意义?
难道要空间做负曲率的弯曲?
需要负能量?太不可思议了。
风云剑 发表于 2011-6-10 16:50

好像现实空间是副曲率的吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2011-6-11 02:22:34 | 显示全部楼层
内角和小于180度的三角形是什么现实物理意义?
难道要空间做负曲率的弯曲?
需要负能量?太不可思议了。
风云剑 发表于 2011-6-10 16:50


相对论中引力场就是由空间负曲率体现的。
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发表于 2012-9-3 14:40:15 | 显示全部楼层
楼主和下面的人说的不是一回事
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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