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[欣赏] 西尔维斯特问题

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发表于 2011-6-16 08:05:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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西尔维斯特问题

数学史上有这样一件趣事,名流权威所不能解决的问题,却被“无名小卒”解决了,这就是西尔维斯特问题。
  西尔维斯特(1814年~1897年)是英国著名数学家,他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题):平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点,那么,这n个点在同一条直线上。
  这个看起来好像很容易的问题,却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了,许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是,该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”,是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时,都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易,连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
  用反证法。假设这n个点不在同一直线上,那么过其中任意两点的直线外,均有已知点,它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数,所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点,B、C、D在同一条直线上,而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的.
  不妨设D在B、C之间,D到AB、AC的距离分别为h1、h2,那么由h的最小性,有h1AB+h2AC>h(AB+AC)>hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积,因而矛盾。所以假设不对,这n个点只能在同一直线上。


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数学,只承认事实,不承认名气。
黑猫白猫,抓住耗子才是好猫。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-6-16 13:33:58 | 显示全部楼层
  在网上很多地方都能看到与楼主相同的文章(一字不差),看后我觉得证明不够严谨(数学证明来不得半点错误),猜想是第一个写这篇文章者写错,后者没看仔细清楚证明就转载所致。
  下面简单说明问题出在什么地方:
  n个正数中,不一定存在其中一个正数,使得其它n-1个正数都比它大,比如:1,1,2,3,4。只能说存在其中一个正数,使得其它n-1个正数都大于或等于它。
  我以为证明应为:用反证法。假设这n个点不在同一直线上,那么过其中任意两点的直线外,均有已知点,它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数,所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点,B、C、D在同一条直线上,而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的一个。不妨设D在B、C之间,D到AB、AC的距离分别为h1、h2,那么由h的特性,有
h1AB/2+h2AC/2h(AB+AC)/2>hBC/2。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积,因而矛盾。所以假设不对,这n个点只能在同一直线上。
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 楼主| 发表于 2011-6-16 16:17:44 | 显示全部楼层
承教!
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