西尔维斯特问题

zpz77777

西尔维斯特问题 数学史上有这样一件趣事，名流权威所不能解决的问题，却被“无名小卒”解决了，这就是西尔维斯特问题。 　　西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。 　　这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。 　　用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的. 　　不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有h1AB+h2AC＞h(AB+AC)＞hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。 ------------------------------------------------------- 数学，只承认事实，不承认名气。 黑猫白猫，抓住耗子才是好猫。

sheng_jianguo

　　在网上很多地方都能看到与楼主相同的文章（一字不差），看后我觉得证明不够严谨（数学证明来不得半点错误），猜想是第一个写这篇文章者写错，后者没看仔细清楚证明就转载所致。 　　下面简单说明问题出在什么地方： 　　n个正数中，不一定存在其中一个正数，使得其它n-1个正数都比它大，比如：1，1，2，3，4。只能说存在其中一个正数，使得其它n-1个正数都大于或等于它。 　　我以为证明应为：用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的一个。不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的特性，有 h1AB/2+h2AC/2≥h(AB+AC)/2＞hBC/2。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。

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