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[转载] 李尚志教授《数学聊斋》之六:巧解民间算术题 变化中的不变

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发表于 2011-6-17 08:22:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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李尚志教授《数学聊斋》之六:巧解民间算术题 变化中的不变

       中国民间流传很多算术题。比如,下面就是一个:100个人吃100个馒头,其中大人每人吃3个,小孩每3人吃1个。大人、小孩各多少个 ?
这个题目很容易用方程解出来。能不能用算术方法解? 可以考虑下面的思路。

        先将要求放宽,只要求人数与馒头数相等,不要求都是100。就很容易凑出一个满足这个条件的答案:让1个大人与三个小孩同在一桌,共是4个人,吃4个馒头,人数与馒头数相等。假定摆很多桌子,人数与馒头数同时扩大。但不论怎样扩大,人数与馒头数始终相等。只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100: 每桌4人,100人就是 100/4=25桌。于是应当是25个大人,75个小孩。

        另外有一道类似的民间算术题,稍微更难一些:100条鱼共100斤,其中大鱼每条10斤,中鱼每条1斤,小鱼每条1两。大、中、小鱼各多少条?

        注意,中国很多年来都是1斤=16两,(一直到上世纪50年代才改成1斤=10两。后来更是统一用国际通用的计量单位“千克”,不再用中国自己的斤和两了。)因此小鱼的重量就是每16条1斤。

        仍然先只要求鱼的条数与斤数相等,再将这个相等的数扩大到100。由于中鱼每条1斤,条数与斤数本来就相等,不需考虑。只考虑大鱼与小鱼。

大鱼:1条10斤,斤数比条数多9, 9 x 5= 45:5条大鱼50斤
小鱼:16条1斤,斤数比条数少15, 15 x 3= 45:48条小鱼 3斤

        要使条数与斤数相等,必须将多的与少的相互抵消。容易算出9与15的最小公倍数为45。

        因此将9与15分别扩大 5倍、3倍都变成45,也就是将 1条大鱼、16条小鱼分别扩大5倍、3倍各变成5条大鱼、48条小鱼,它们的总条数5+48 = 53 与总斤数50+3=53 就相等了。只需再扩大成100就行了。然而,53即使乘2就已经超过100,因此不可能通过乘法来扩大到100。但是可以通过增加中鱼来扩大到100。由 100–53 = 47知道,只要在5条大鱼、48条小鱼的基础上再添加47条中鱼,条数和斤数就都扩大到了100。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-8-7 23:14:45 | 显示全部楼层
太完美的思路了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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