李尚志教授《数学聊斋》之六：巧解民间算术题 变化中的不变

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李尚志教授《数学聊斋》之六：巧解民间算术题 变化中的不变

       中国民间流传很多算术题。比如，下面就是一个：100个人吃100个馒头，其中大人每人吃3个，小孩每3人吃1个。大人、小孩各多少个 ?
这个题目很容易用方程解出来。能不能用算术方法解? 可以考虑下面的思路。

        先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是100。就很容易凑出一个满足这个条件的答案：让1个大人与三个小孩同在一桌，共是4个人，吃4个馒头，人数与馒头数相等。假定摆很多桌子，人数与馒头数同时扩大。但不论怎样扩大，人数与馒头数始终相等。只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100： 每桌4人，100人就是 100/4=25桌。于是应当是25个大人，75个小孩。

        另外有一道类似的民间算术题，稍微更难一些：100条鱼共100斤，其中大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每条1两。大、中、小鱼各多少条？

        注意，中国很多年来都是1斤=16两，（一直到上世纪50年代才改成1斤=10两。后来更是统一用国际通用的计量单位“千克”，不再用中国自己的斤和两了。）因此小鱼的重量就是每16条1斤。

        仍然先只要求鱼的条数与斤数相等，再将这个相等的数扩大到100。由于中鱼每条1斤，条数与斤数本来就相等，不需考虑。只考虑大鱼与小鱼。

大鱼：1条10斤，斤数比条数多9, 9 x 5= 45：5条大鱼50斤
小鱼：16条1斤，斤数比条数少15, 15 x 3= 45：48条小鱼 3斤

        要使条数与斤数相等，必须将多的与少的相互抵消。容易算出9与15的最小公倍数为45。

        因此将9与15分别扩大 5倍、3倍都变成45，也就是将 1条大鱼、16条小鱼分别扩大5倍、3倍各变成5条大鱼、48条小鱼，它们的总条数5+48 = 53 与总斤数50+3=53 就相等了。只需再扩大成100就行了。然而，53即使乘2就已经超过100，因此不可能通过乘法来扩大到100。但是可以通过增加中鱼来扩大到100。由 100–53 = 47知道，只要在5条大鱼、48条小鱼的基础上再添加47条中鱼，条数和斤数就都扩大到了100。

xiaobofu

太完美的思路了