一个多重相关的分式二次型极值问题

terryywl

求形如${(alpha^TSigma_{21})^2}/{alpha^TSigma_{22}alpha}$，其中$alpha$与$Sigma_{21}$为$nxx1$向量，$Sigma_{22}$为$nxxn$正定矩阵。答案为$alpha=Sigma_{22}^{-1}Sigma_{21}$时，有极大值$Sigma_{21}^TSigma_{22}^{-1}Sigma_{21}$，求过程

mathe

设B是正定阵而且$B^2=\Sigma_22,\beta=B\alpha$,于是变成了
${(\beta^T B^-1\Sigma_21)^2}/{|\beta|^2}$的极大值问题，即
${(\beta^TB^-1\Sigma_21\Sigma_21^T B^-1\beta)}/{|\beta|^2}$
所以取极值时$\beta$是矩阵$B^-1\Sigma_21\Sigma_21^TB^-1$的非零特征值。
而由于$rank(\Sigma_21\Sigma_21^T)=1$,所以只有一个非零特征值。
检验易知$\beta=B^-1\Sigma_21$是特征向量，对应特征值为$\Sigma_21^T\Sigma_22^-1\Sigma_21$
由此得知在$\alpha=\Sigma_22^-1\Sigma_21$时，取到唯一极大值$\Sigma_21^T\Sigma_22^-1\Simga_21$