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[转载] 李尚志教授《数学聊斋》之十: 邯郸农行案 概率(2)

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发表于 2011-6-19 09:33:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 hujunhua 于 2011-6-24 22:37 编辑

李尚志教授《数学聊斋》之十: 邯郸农行案 概率(2)
邯郸农行的两个工作人员利用职务之便盗窃银行金库里的钱,拿去买体育彩票,幻想中大奖后将本钱悄悄还回金库,神不知鬼不觉稳稳当当赚大钱。结果不但没有赚,反而血本无归。他们逃跑被抓回来,判了死刑。
在电视上看见记者采访其中一位罪犯,说一开始买彩票曾经赚了,后来继续买下去,连续买了很多很多张,全都没有中奖。记者问他对连续不中奖有什么看法,他回答:“太意外了!”——看来他是死也不知回头的,如果来世再投胎,他还会继续买下去。
我没有记住他是连续买了多少张彩票没有中奖。不过由此想到了一个考试题,在北航招收保送生的考试中用上了:
假定买某种彩票中奖的概率为 10%,如下两件事哪一件发生的的可能性更大?
1.只买一张就中奖。 2. 连续买了20张全都不中奖。
一般人直觉应该选1。既然中奖率是10%,买10张一般会中一次,即使运气差一点,再多买几张总会中的吧,20张都不中那是太背了。
但是仔细计算一下就会发现,在概率问题上,直觉往往会欺骗你。
实际上,连买20张至少中一次奖的概率只有

$ 1-(1-10%)^20 = 1-0.9^20 = 0.8784…$,
还不到90%,远不如想像中的大。
考试中要求考生不用计算器,考察他们利用数学知识解决问题的能力。多数考生想出了办法,比如利用二项式定理计算
$ (1-0.1)^ 20$的前几项。另外还有一个办法:
$0.9^2 =0.81$,
$0.9^4 =0.81^2= 0.6561$,
$0.9^8 = 0.6561^2=0.430467$,
[TeX]0.9^16=0.430467^2=0.1853[/TeX]
最后得到$0.9^20 = 0.9^16\times0.9^4 = 0.1853\times0.6561=0.1215…$。
买体育彩票的中奖率当然没有达到10%,到底是多少我没有去调查。不过,可以问:

如果中奖率是千分之一,买2千张都不中奖的概率是多少?
如果中奖率是万分之一,买2万张都不中奖的概率是多少?
两种情况下的概率分别为$ (1-1/1000)^2000$,$(1-1/10000)^20000$,
用计算器计算出近似值分别为 0.1352, 0.135322,已经“万分”接近于

$lim_{n->\infty}(1-1/n)^{2n}=e^{-2}=0.135335…$。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-6-21 17:33:17 | 显示全部楼层
-最后两行里的e^(-1)和e^(-2),注意排下版,现在这样很容易误解成e-1和e-2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-6-24 18:55:38 | 显示全部楼层
-最后两行里的e^(-1)和e^(-2),注意排下版,现在这样很容易误解成e-1和e-2
风云剑 发表于 2011-6-21 17:33


    谢谢指出,老朽在贴出的第二天,就吃了论坛“不准编辑”闭门羹,奈何。请版主运用权力帮帮忙吧。
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