李尚志教授《数学聊斋》之十： 邯郸农行案 概率（2）

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李尚志教授《数学聊斋》之十： 邯郸农行案 概率(2)
邯郸农行的两个工作人员利用职务之便盗窃银行金库里的钱，拿去买体育彩票，幻想中大奖后将本钱悄悄还回金库，神不知鬼不觉稳稳当当赚大钱。结果不但没有赚，反而血本无归。他们逃跑被抓回来，判了死刑。
在电视上看见记者采访其中一位罪犯，说一开始买彩票曾经赚了，后来继续买下去，连续买了很多很多张，全都没有中奖。记者问他对连续不中奖有什么看法，他回答：“太意外了！”——看来他是死也不知回头的，如果来世再投胎，他还会继续买下去。
我没有记住他是连续买了多少张彩票没有中奖。不过由此想到了一个考试题，在北航招收保送生的考试中用上了：
假定买某种彩票中奖的概率为 10%，如下两件事哪一件发生的的可能性更大？
1．只买一张就中奖。 2. 连续买了20张全都不中奖。
一般人直觉应该选1。既然中奖率是10%，买10张一般会中一次，即使运气差一点，再多买几张总会中的吧，20张都不中那是太背了。
但是仔细计算一下就会发现，在概率问题上，直觉往往会欺骗你。
实际上，连买20张至少中一次奖的概率只有
$ 1-(1-10%)^20 = 1-0.9^20 = 0.8784…$，
还不到90%，远不如想像中的大。
考试中要求考生不用计算器，考察他们利用数学知识解决问题的能力。多数考生想出了办法，比如利用二项式定理计算$ (1-0.1)^ 20$的前几项。另外还有一个办法：
$0.9^2 =0.81$，
$0.9^4 =0.81^2= 0.6561$，
$0.9^8 = 0.6561^2=0.430467$，
$0.9^16=0.430467^2=0.1853$，
最后得到$0.9^20 = 0.9^16\times0.9^4 = 0.1853\times0.6561=0.1215…$。
买体育彩票的中奖率当然没有达到10%，到底是多少我没有去调查。不过，可以问：
如果中奖率是千分之一，买2千张都不中奖的概率是多少?
如果中奖率是万分之一，买2万张都不中奖的概率是多少？
两种情况下的概率分别为$ (1-1/1000)^2000$，$(1-1/10000)^20000$，
用计算器计算出近似值分别为 0.1352, 0.135322，已经“万分”接近于
$lim_{n->\infty}(1-1/n)^{2n}=e^{-2}=0.135335…$。

风云剑

－最后两行里的e^(-1)和e^(-2)，注意排下版，现在这样很容易误解成e-1和e-2

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－最后两行里的e^(-1)和e^(-2)，注意排下版，现在这样很容易误解成e-1和e-2
风云剑 发表于 2011-6-21 17:33

    谢谢指出，老朽在贴出的第二天，就吃了论坛“不准编辑”闭门羹，奈何。请版主运用权力帮帮忙吧。