李尚志教授《数学聊斋》之十三：千手观音有多少只手 集合的元素 个数

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李尚志教授《数学聊斋》之十三：千手观音有多少只手 集合的元素个数
重庆大足石刻是世界文化遗产。大足石刻有一尊千手观音。导游带
领游客参观的时候，会告诉你：这尊千手观音一共有1007只手。然
后问：1007这个准确数字是怎样数出来的?
只要你看了这尊观音，就知道要数清有多少只手并不容易。观音的
手如孔雀开屏般向各个方向伸出，长短各异，方向各异，千姿百态
，无一雷同。各只手的位置没有规律，不可能按某种方式排列成先
后顺序一只一只数清楚。
不过，大足石刻的管理人员却数清楚了。他们的方法其实很简单:
预先准备一些金箔; 在观音的每只手上贴一张金箔; 将所有的手既
无遗漏也无重复地贴满; 总共用了多少张金箔，就有多少只手。观
音的手很难排成顺序数清楚，金箔却可以迭起来一张一张数清楚。
这个简单的办法包含了计数的基本思想：一一对应。将观音的手与
金箔一一对应起来，手就与金箔一样多。数清楚金箔有多少张，就
知道了手有多少只。
当他们一张一张数金箔的时候，其实又建立了另外一个对应：迭起
来的金箔按从上到下的顺序依次与正整数1,2,3,… 对应。数到最
后一张金箔，发现它对应于正整数 1007,也就是说金箔集合与从1
到1007的正整数集合建立了一一对应，金箔的总数就是1007。千手
观音的所有的手的集合与金箔集合建立了一一对应，也就与集合
{1,2,…,1007} 建立了一一对应，元素个数也是1007。我们通常用
尺子来量长度。类似地，集合元素的多少也是用正整数集合N+ =
{1,2,…}这把“尺子”量出来的。用这把“尺子”去量金箔集合，
从1开始到1007正好将金箔量完，也就是说从N+ 这把长尺子截下一
小段{1,…,1007}正好与金箔集合建立一一对应，金箔集合的元素
个数就是1007.
如果用正整数集合 N+ 这把尺子去量某个集合S时，N+ 的正整数始
终用不完，S就是无穷集合。如果 S 是一个无穷序列 a1,a2,…,an
,… ，就可以依次将序列的各项对应于正整数 1,2,…,n,…。这样
就将这个序列各项组成的集合与全体正整数的集合N+ 建立了一一对
应。集合 N+ 中的元素有无穷多个，凡是与N+ 能够建立一一对应
的集合称为“可列集合”。可列集合是元素个数最少的无穷集合。
也许你会疑惑：怎么能说 N+ 是元素最少的无穷集合呢？假如将
N+ 中的奇数删去，剩下的全体正偶数组成一个集合 2N+ ={2,4,6,
…} ，仍然是无穷集合，元素个数是 N+ 的一半，岂不是比N+ 的
元素更少了吗？
你可以认为全体正偶数只占全体正整数的一半，但是如果用 N+  
这把“标准尺子”去“度量”正偶数集合2N+ ，将2,4,6,… 依次
与 1,2,3,… 对应，全体正偶数的集合2N+ 与全体正整数的集合N+
就建立了一一对应，这就说明集合2N+  与N+ 所含的元素一样多
，正偶数与正整数一样多！明明正偶数只占正整数的一半，居然又
说它们一样多，岂不是自相矛盾？
这种看起来矛盾的现象对于有限集合是不会发生的，只有对无穷集
合才会发生。为了避免矛盾，我们规定：只要能够有一种方法在两
个集合A,B之间建立一一对应，就称两个集合的势相等。这里，“势
”就是“元素个数”的意思。只要在A,B之间曾经建立一一对应，即
使还可以将B中去掉一些元素之后再将剩下的元素与 A建立一一对应
，也不能说 A 的元素比B少，而仍然坚持认为 A,B的元素一样多。
我们已经看到无穷集合N+ 的“一半”与N+ 的元素一样多。反过来
,容易想到， N+ 的“两倍”的元素也与N+ 一样多。容易看出,全
体正数组成的集合N+={1,2,…,n,…} 与全体负整数组成的集合
-N+ ={-1,-2,…,-n,…} 可以建立一一对应，元素个数相等。因此
，将N+ 与 -N+ 合并在一起得到的N+ ∪（-N+）就是N+ 的“两倍
”，再添上0得到的就是全体整数组成的集合Z，它的元素个数可以
认为是N+ 的两倍再加1。然而，全体整数可以按如下方式排成一个
无穷数列Z ={0,1,-1,2,-2,…, n,-n,… },数列中的各个数可以依
次与正整数1,2,3,…对应,这说明了整数与正整数一样多！
每个实数可以用数轴上的一个点来表示。这样就建立了数轴与全体
实数的一一对应。表示整数的点在数轴上稀稀拉拉，表示有理数的
点在实数轴上密密麻麻，可见有理数比整数多得多。将实数轴分成
很多长度为1的区间[n,n+1)，则每个区间内只有一个表示整数的点
，却有无穷多个有理数的点。可见有理数的个数是整数个数的无穷
多倍。然而，全体有理数可以按如下方式排列成一个无穷数列：
0/1，1/1，-1/1，1/2，-1/2，2/1，-2/1，…
排列的方法是：先将0排在第一项。再按如下原则排列各非零有理数
：
将每个非零有理数写成p/q 或 -p/q的形式，其中p,q是正整数并且
互素。按分子分母之和p+q由小到大的顺序排列; p+q相等的，按分
子p从小到大的顺序排列; p+q与p都相等的，先排正数后排负数。
按以上方法，就将所有的有理数排成了一个无穷数列。将无穷数列
的各项依次与正整数1,2,3,… 对应，第n项与正整数n对应，这就
建立了这个无穷数列与正整数集合N+ 的一一对应，证明了有理数与
正整数一样多！
能否将全体实数也排成数列a1,a2,…,an,…,从而证明实数也与正
整数一样多呢?
如果想出了一个办法将所有的实数排成无穷数列，就证明了实数与
正整数一样多。反过来，即使全世界所有的人都没有找到这样的办
法，也还不能就此断定这样的办法不存在。万一来了一个外星人想
出这样的办法呢？
不过我们可以用反证法证明：无论何时，无论何地，谁也不能将全
体实数排成一个数列!
数轴上的点与实数一一对应。假如全体实数被排成了一个数列
a1,a2,…，an,…, 数轴上全体点也就对应地排成一个序列A1,A2,
…，An,…。预先任意取定一个小的正数e。在数轴上取一个长度为
e/2 的线段E1将点A1 盖住，再取一个长度为e/4 的线段E2将点A2
住。一般地，对序列中第n个点An,取一个长度为e/(2n) 的线段
En将它盖住。所有这些线段E1,E2,…，En,… 合并起来得到的集合
E将所有的点A1,A2,…，An,… 全都盖住了。我们知道，这些点就
是数轴上所有的点，因此E将数轴全部覆盖了。但另一方面，E由线
段E1,E2,…，En,… 合并而成，E的总长度不能超过这些线段的长
度之和
                 e/2+e/4+e/8+ … +e/(2n)+ … < e
其中e可以取任意小的正数。E的总长度小于任意正数，只能是0，不
可能覆盖整个数轴！
这个矛盾就证明了全体实数不可能排成一个数列，实数与正整数不
一样多。
事实上,我们证明的结论是:如果数轴上某些点组成的集合能够排成
一个序列,那么这些点的“总长度”是0。在前面已经证明过数轴上
的有理点(表示有理数的点)可以排成无穷数列，可见有理点的“总
长度”是0。除去有理点，剩下就是无理点。数轴的总长度是无穷大
，其中有理点的总长度是0，剩下的无理点的总长度就应当是无穷大
。如果要问在数轴上有理点和无理点各占百分之几，那就只能说有
理点占百分之零，无理点占百分之百！

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这是《数学聊斋》的最后一章。