关于无限的问题

drklnk

关于无限的问题，有些细节不清楚。以下详细讲讲我的想法，很啰嗦和凌乱，望各位见谅。

  两个无限集个数是否相同，定义为能否找到一一对应。这点大家都知道，我也能接受。
  但关于无法对应，给出的第一个例子通常是自然数和[0,1)实数的对应。而且都是用“对角化”的反证，为方便以下叙述，重复如下：
1、假设有一一对应，该对应记为f，自然数n对应的实数记为f(n)。
2、可构造某实数x，x十进制表示的小数点后第一位与f(1)不同；第二位与f(2)不同……
3、则x不在 f 中。因若 f(m)=x，由构造可知，x小数点后第m位与f(m)不同，矛盾。
  但从该步骤，我认为对无限未作定义就随意使用。首先，第2步构造x的过程本身就是无限的，不能简单说这步能构造完成停止，进入下一步。如果将2、3混在一起：任给定一个m，都能知道x的前m位的组成，而该组成部分与已枚举出的f(m)不同，则觉得只是将边界往无限的方向推，并没有明确地指出矛盾。

  我所知有限，对无穷的认识还局限在“潜无穷”，即“无限是通过有限定义的”，真正的无限只是通过对有限的论述来外推。例如在数学分析的课程中，关于极限、可微可积、收敛等证明中，都用到类似“任给定数值sigma，都能找到n，使>n时误差都<sigma”，或是“对任意给定的n，都能满足条件，所以xx成立”等，通过在有限的层面上论述成立，从而推广到无穷。但在所见的定理证明中，都没有相继执行多个步骤无限的过程，如多维无穷积分的收敛证明，不会先弄好一个变量再考虑下一个，而是给定两个变量的取值范围，讨论，再往无穷方向推。
  或许第2步可以用区间套来理解：为避免循环节9的细节，x小数位只取0-7。选择第一位小数a后，范围在[0.a0-0.a8]；确定第二位后，范围缩小在[0.ab0-0.ab8]……按区间套定理，必存在x，这样可避开无限构造过程。这样在第3步时，就可以用潜无穷的手法论述了。但我认为，潜无穷实际上没给出真正的无限，而这里是实实在在地确定两个无限值的“大小”，有点基础不牢固的感觉。

  论述实数(甚至数值)，会受已有认识和成果的影响。改变一下，考虑定义在 字符集{a,b} 上的所有字符串S，仿照以上证明自身无法一一对应自身：
1、假设有一一对应f，按S中元素的字典序来写出该关系，即{f(a),f(b),f(aa),f(ab),f(ba)……}。
2、可构造一字符串x，第一个字符与f(a)第一个不同，第二个与f(b)的不同……
3、x不在f中，理由同上。
  这显然是个矛盾！但我无法找出错误。

我的问题：
1、该定理的论述是否只是科普版，真正严格的论述不是这样？
2、无限的基础是什么？是集合论？它是否真正给出无穷的严格定义，或是有一些公理约束？
3、是否有“无限基数”方面一些简明严格、从总体描述的资料可参考？

  初次发帖，高手环绕，总有点诚惶诚恐 因此罗里啰嗦了一大堆，希望大家能看明白，钻牛角尖的地方望能指出。