关于无限的问题

drklnk

关于无限的问题，有些细节不清楚。以下详细讲讲我的想法，很啰嗦和凌乱，望各位见谅。 两个无限集个数是否相同，定义为能否找到一一对应。这点大家都知道，我也能接受。 但关于无法对应，给出的第一个例子通常是自然数和[0,1)实数的对应。而且都是用“对角化”的反证，为方便以下叙述，重复如下： 1、假设有一一对应，该对应记为f，自然数n对应的实数记为f(n)。 2、可构造某实数x，x十进制表示的小数点后第一位与f(1)不同；第二位与f(2)不同…… 3、则x不在 f 中。因若 f(m)=x，由构造可知，x小数点后第m位与f(m)不同，矛盾。 但从该步骤，我认为对无限未作定义就随意使用。首先，第2步构造x的过程本身就是无限的，不能简单说这步能构造完成停止，进入下一步。如果将2、3混在一起：任给定一个m，都能知道x的前m位的组成，而该组成部分与已枚举出的f(m)不同，则觉得只是将边界往无限的方向推，并没有明确地指出矛盾。 我所知有限，对无穷的认识还局限在“潜无穷”，即“无限是通过有限定义的”，真正的无限只是通过对有限的论述来外推。例如在数学分析的课程中，关于极限、可微可积、收敛等证明中，都用到类似“任给定数值sigma，都能找到n，使>n时误差都 因此罗里啰嗦了一大堆，希望大家能看明白，钻牛角尖的地方望能指出。