网上的一个求半圆内弦长的题目

hejoseph

来源找不到了。半圆内有一条弦 $CD$，圆周沿 $CD$ 对折后与直径 $AB$ 相切于点 $T$，已知 $AT=a$，$BT=b$，求 $CD$ 的长度。若给定点 $A$、$B$、$T$，求作弦 $CD$。

倪举鹏

最简单的方法：T作为0点建坐标系，两个圆的方程容易得出，两个圆交点也可以得出。

结果是 $sqrt{(a^2 + 4 a b + b^2)/2}$

yigo

对折过\(T\)点的折痕\(CD\)是以圆心\(O\)、点\(T\)为焦点，长轴长度为圆的半径的椭圆的切线，设切点为\(E\)，由于\(T\)与\(AB\)相切，故\(ET\)垂直于\(AB\)，题目等价于求作过椭圆焦点且与长轴垂直的直线与椭圆的交点。
容易得出\(ET=\frac{ab}{a+b}\)。\(E\)点作出来，切线也就出来了。

hujunhua

设半圆的半径为R=(a+b)/2。折痕的圆心就在切点T的上方高R处的H点，即TH=R。
折痕就是OH的中垂线为半圆所截的弦。
$OT=(a-b)/2，TH=(a+b)/2$, ∴ 圆心距 $OH^2=OT^2+TH^2=(a^2+b^2)/2$

所以折痕（公共弦）$CD=sqrt(4R^2-OH^2)=sqrt{(a^2+4ab+b^2)/2}$