对积分曲线的偏导数

sir_chen

对于第一类曲线积分$int_Lf(x,y)ds$，其中$L$为$varphi (x,y,t)=0$所确定的一条曲线，其中$t$为参数。对于以下3种情况： 1. 若由$varphi (x,y,t)=0$所确定的以$t$为参数，$x$为自变量的隐函数为$y=g(t,x)$，$L$为区间$[a(t),b(t)]$上的一段。 2. 若$varphi (x,y,t)=0$是一条光滑的简单闭曲线。 3. 若$varphi (x,y,t)=0$是一条非光滑简单闭曲线，其中包含有限个一阶导数不连续点。（如$x^2/a^2+|y|/b=1$在两端点处导数不连续） 现在需要分别对以上3种情况求对参数t的偏导数，也就是： $del /{del t}int_Lf(x,y)ds$，其中$L:varphi (x,y,t)=0$

sir_chen

对于问题1： $y=g(t,x)$，那么$ds=sqrt{1+g_x^2}dx$ $int_Lf(x,y)ds=int_{a(t)}^{b(t)}f(x,g(t,x))sqrt{1+g_x^2(t,x)}dx$ $del /{del t}int_Lf(x,y)ds=f(b,g(t,b))sqrt{1+g_x^2(t,b)}b'(t)-f(a,g(t,a))sqrt{1+g_x^2(t,a)}a'(t)+$$int_a^b(f_y(x,g(t,x))g_t(t,x)sqrt{1+g_x^2(t,x)}+f(x,g(t,x)){g_x(t,x)g_{xt}(t,x)}/sqrt{1+g_x^2(t,x)})dx$ $=f(b,g(t,b))sqrt{1+g_x^2(t,b)}b'(t)-f(a,g(t,a))sqrt{1+g_x^2(t,a)}a'(t)+$$int_Lf_y(x,y)g_t(t,x)ds+int_Lf(x,y){g_x(t,x)g_{xt}(t,x)}/(1+g_x^2(t,x))^(3/2)ds$ 这里有个问题，那就是在端点处可能存在导数为无穷大的情况。

sir_chen

谁帮忙分析一下端点导数为无穷大和积分曲线为闭曲线的情况。