和差能否均为平方数

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对于一个素数p，能否找到整数a、b，使得|p*a^2-b^2|和p*a^2+b^2均为平方数？

KeyTo9_Fans

$p=5$, $a=1$, $b=2$

$|p*a^2-b^2|=1$
$p*a^2+b^2=9$

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2# KeyTo9_Fans

我想知道哪些p会有解…能否总结出一般规律？

KeyTo9_Fans

https://oeis.org/A003273

zgg___

4# KeyTo9_Fans
4层的回复使我想起了一本非常好的书，借机再推荐一下，那就是Neal I. Koblitz的《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》，我猜测Key大侠一定看过的，呵呵。

不过，我还没有弄清1层的问题和Congruent numbers是一回事，这个问题貌似和http://oeis.org/A133204提到的non Pellian equation也有点象呢。呵呵。

xbtianlang

| 5*1^2-2^2 | = 1,   5*1^2+2^2 = 9

| 7*120^2-337^2 | = 12769,   7*120^2+337^2 = 214369

| 13*5^2-6^2 | = 289,   13*5^2+6^2 = 361

| 29*13^2-70^2 | = 1,   29*13^2+70^2 = 9801

| 37*145^2-42^2 | = 776161,   37*145^2+42^2 = 779689

| 41*5^2-8^2 | = 961,   41*5^2+8^2 = 1089

| 109*5^2-42^2 | = 961,   109*5^2+42^2 = 4489

| 137*5^2-56^2 | = 289,   137*5^2+56^2 = 6561

| 149*25^2-238^2 | = 36481,   149*25^2+238^2 = 149769

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4# KeyTo9_Fans
4层的回复使我想起了一本非常好的书，借机再推荐一下，那就是Neal I. Koblitz的《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》，我猜测Key大侠一定看过的，呵呵。

不过，我还没有弄清 ...
zgg___ 发表于 2011-8-10 16:57

我就是在研究那个Congruent numbers时导出的方程组，key果真厉害，发现我研究的问题的本质…^_^

再问一下，这个问题被彻底解决了没有？

zgg___

7# 282842712474
呵呵，没有看到1层题目中的绝对值，我开始还纳闷为什么p的左边有一竖呢，唉~~~
这个问题现在“基本”解决，通过那个“Tunnell's theorem”。5层的书正是对这个问题深入浅出的学习材料。