穿越阈值与渗流阈值

KeyTo9_Fans

我想证明穿越阈值与渗流阈值相等，但一直没有证明出来，希望论坛里的大牛们帮忙。

穿越阈值的定义如下：

我们对$N$行$N$列的小正方形进行随机染色。

每个小正方形被染成黑色和白色的概率分别是$p$和$(1-p)$。

穿越概率$C_p(N)$就是黑色格子以四连通的方式将上下两边连起来的概率。

例如，当$p=0.5$，$N=2$时，一共有$2^4=16$种染色方案，

黑色格子连接上下两边有$7$种方案：

白黑?白黑?黑白?黑白?黑黑?黑黑?黑黑
白黑?黑黑?黑白?黑黑?白黑?黑白?黑黑

每种方案的概率均为$1/16$，所以当$p=0.5$，$N=2$时，穿越概率$C_p(N)=7/16$

穿越阈值$C_p$就是当$N->\infty$时，使得$C_p(N)=1/2$的$p$值。

下面的链接给出了$N=1$到$N=18$时，使得$C_p(N)=1/2$的$p$值，并预测出了该$p$值的极限：$C_p=0.59274605$

http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=2563

渗流阈值的定义如下：

我们对$Z^2$上的每个整点$(x,y)$进行随机染色。

每个点被染成黑色和白色的概率分别是$p$和$(1-p)$。

$|S|$表示$(0,0)$点所在的黑色连通块的大小（每个点$(x,y)$有上下左右$4$个邻居：$(x,y-1)$、$(x,y+1)$、$(x-1,y)$、$(x+1,y)$），如果$(0,0)$点是白色，则$|S|=0$。

$P_\infty(p)$表示$|S|=\infty$的概率：$P_\infty(p)=P(|S|=\infty)$

渗流阈值$P_c$就是使得$P_\infty(p)=0$的$p$的最大值：$P_c=\max{p|P_\infty(p)=0}$。

下面的链接给出了$P_c$的近似值：$P_c=0.59274605$

http://en.wikipedia.org/wiki/Percolation_threshold

与$C_p$的预测结果$0.59274605$完全一致。

我想证明这两个值是相等的，但一直没有严格地证明出来。

希望论坛里的大牛们帮忙，证明穿越阈值$C_p$与渗流阈值$P_c$相等。

KeyTo9_Fans

原问题太难了。

大家能否想想这个简单一点的问题：

$N$*$N$的格子，染成黑色的概率为$p$。

$C_p(N)$表示黑色格子纵向穿越的概率。

$H_p(N)$表示黑色格子横向穿越的概率。

由于对称性，我们有$C_p(N)$=$H_p(N)$。

如何证明在黑色格子已经纵向穿越的前提下，横向穿越的概率会增大？

例如当$N=2$，$p=0.5$时，黑色格子纵向穿越的情况有$7$种：

白黑?白黑?黑白?黑白?黑黑?黑黑?黑黑
白黑?黑黑?黑白?黑黑?白黑?黑白?黑黑

在这$7$中情况中，有$5$中情况是横向穿越的：

白黑?黑白?黑黑?黑黑?黑黑
黑黑?黑黑?白黑?黑白?黑黑

所以在黑色格子已经纵向穿越的前提下，横向穿越的概率是$5/7$，比原来的$H_p(N)=7/16$大。

解决这个问题对原问题的求解有帮助。