一个概率的问题，求解释

wadeswb

最近看到了一个关于概率的问题，思考不出答案，很苦恼。如有高手路过，不吝赐教。

对于5位数的电话号码，假设0~9出现的概率是一样的都是1/10，而且是相互独立的。

现在我要猜这5位数的电话号码。我想算一下可能需要猜测的次数。

那么我先算一下猜对一位可能需要的次数。

假如，我猜一次，每位猜对的概率是1/10，那么我能猜对位数的期望就是5*1/10=1/2。也就是说，我猜一次，应该是有1/2位(期望)能猜对。那么，我猜两次，猜对位数的期望就是2*5*1/10=1。

另一种思路：

下面我们算一下，我们想猜对一位，需要猜的次数的期望。当然需要猜的次数越多，概率越小。

猜一次就猜对一位的概率：1/10*n*(9/10)^(n-1)。 n为电话号码的长度，这里就是5。

猜两次猜对一位的概率：1/10*n*(9/10)^(n-1)*（9/10）^n。

猜三次猜对一位的概率：1/10*n*(9/10)^(n-1)*（9/10）^2n。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。

所需猜测的次数的期望就是：1*猜一次猜对一位的概率+2*猜两次猜对一位的概率+3*猜三次猜对一位的概率+……………………

EX=1/10*n*(9/10)^(n-1)*(1+2*(9/10)^n+3*(9/10)^2n+……………)

=1/10*n*(9/10)^(n-1)*(1/(1-(9/10)^n)^2)             错位相减法（1+2q+3q^2+…..=1/(1-q)^2）

现在我们可以把n=5带入，EX=1.956。

这时候，我发现也就是说，猜对一位，我们需要进行猜测的次数的期望是1.956，不是2。

那么，怎么解释猜两次猜对位数的期望是1，而猜对1位需要猜的次数的期望却是1.956，不是2呢？

PS：第一种思路中，对5个号码猜两次和对1位猜10次应该是等价的。所以我觉得第一种思路这样计算和考虑猜中0位，猜中1位，猜中2位。。。。猜中10位的概率而算的期望是一样的。

sheng_jianguo

第一种思路中，猜这5位数的电话号码方法是有条件的必须很特殊才能这样计算（期望相加）。既如第一次猜12321，那么第二次猜时第1位不能是1，第2位不能是2，第3位不能是3，第4位不能是2，第5位不能是1。（实际上不能这样猜，否则可能永远猜不到要猜的号码）

wayne

1# wadeswb
第一种思路很乱。

我猜一次，每位猜对的概率是1/10

--------》 这个不对

sheng_jianguo

"我猜一次，每位猜对的概率是1/10"是对的。

wayne

4# sheng_jianguo

那么我先算一下猜对一位可能需要的次数

我说的是，楼主的这个思路入口不对。
基本事件是 “猜一次”，那么，事件的合理分类应该是 猜对了一位，猜对了两位，猜对了三位,......
而不是第一位猜对了，第二位猜对了，第三位猜对了,......
反正很乱，
或者，至少我很乱，

wayne

呃，是我没看清楚 楼主的意图。
怎么冒出了个
猜对一位可能需要的次数

此题的答案难道不是10^5 ,    10万吗？

sheng_jianguo

5# wayne
有同感，思路很乱。我觉得应根据问题目的将事件进行合理分类（如果需要，也可以分为猜对了一位，...，也可以分为第一位猜对了，...）

sheng_jianguo

6# wayne
楼主大概想先计算猜对一位可能需要的次数，然后计算猜对二位可能需要的次数，最后推广到猜对五位可能需要的次数。
到底平均需要多少次猜中电话号码，我认为答案不确定，原因是问题没交代清楚，比如猜的规则...

wayne

7# sheng_jianguo
如果按 第一位猜对了，第二位猜对了，第三位猜对了。。。。。分解，
那么事件之间不独立，对“猜对号码”这个目的没有直接的显而易见的帮助。

wayne

8# sheng_jianguo
猜对的概率是1/100000,
即平均100000次才有一次被猜对。
所以，楼主的答案是10万次，不知我这样理解是否正确