(尺规作图)正方形的3个顶点到其内某点的距离分别为1, 2, 3，求作该正方形。

hujunhua

已知单位线段OA， 求作正方形ABCD，使得OB=2，OC=3.

hujunhua

兔八哥在哪里见过类似的题吧。
这题称为原创不免有点抄窃，我见过的原题是已知三个距离1，2，3，要求正文形的面积。
改成尺规作图题后称为“改编”或许更恰当，但是郭老板没安这个选项，呵呵，怪不得我啦。

hujunhua

主题帖的内容漏掉了标题中关于“点在正方形内”的条件，所以可能有两解，即点在正方形外可能还有一解。这是突破原题的地方。

gxqcn

也许可分两步走：
1、用解析几何解方程组，得到正方形边长及O点相对坐标；
2、尺规作图。

hujunhua

有一个几何定理：任一点到矩形对角顶点距离的平方和相等。
在平面几何，以本题例，即 $OA^2+OC^2=OB^2+OD^2$, 立得$OD^2=1^2+3^2-2^2=6$
建立坐标系XOY，使x轴平行于AB，并使顶点A处于正方形的左下角。
设A(x,y), 正方形的边长为Z, 则B(x+z, y), C(x+z, y+z), D(x, y+z)
记OA=a, OB=b, OC=c, OD=d, 记$e^2={a^2+c^2}/2={b^2+d^2}/2$
仅以勾股定理建立3个方程：
$x^2+y^2==a^2$
$(x+z)^2+y^2==b^2$
$x^2+(y+z)^2==d^2$
消去x和 y得到关于z的方程
$(z^2-e^2)^2==(ac)^2+(bd)^2-e^4$
所以$z^2=e^2+-\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-e^4}$
将$a,b,c,d=1,2,3,\sqrt6$代入可得$z^2=5+-2\sqrt2$
原题以正方形面积为目标，原来是因为关于边长的方程是偶4次方程，面积则正好是2次方程！

从结果可知，不是任意满足首行定理的(a,b,c,d)都能构成一个正方形，必须$(ac)^2+(bd)^2>=e^4$方可。

hujunhua

13#部分实现了12#的设想。但是出现的两根如何分别呢？
换个提法，固定正方形ABCD。正方形所在平面上的任一点O，在什么区域使得$z^2=e^2+\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-e^4}$, 在什么区域使得$z^2=e^2-\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-e^4}$, 两者的界线是什么？
9#粗略地提了一下，说其一O点在正方形内，其二O点在正方形外，界线真的是正方形的边么？。
显然，界线就是二重根的轨迹，即$z_{1,2}=e$, $(ac)^2+(bd)^2=e^4$.
由z=e得$\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{b^2+d^2}=\sqrt{2}z=AC=BD$（正方形对角线），可见点O在正方形的外接圆上。
即界线为正方形的外接圆；
O在圆外时，$z^2=e^2+\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-e^4}$,
O在圆内时，$z^2=e^2-\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-e^4}$

hujunhua

hujunhua

gxqcn

我觉得有时候的“如图”仅仅是个草图或参考图，线段不要求对应成比例，角度也不要求那么精确，
所以，如果不明确指明“点O在正方形ABCD内”的话，应该考虑其可能在正方形之外的情形。