这个组合恒等式属于新的发现吗？

wsc810 · 发表于 2011-9-7 09:12:12

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本帖最后由 wsc810 于 2011-9-7 09:15 编辑

$C_{2n}^n=(sum_{j=0}^{n}C_n^j)^2$

geslon · 发表于 2011-9-8 00:09:08

当n=3时，左边是20，右面是64？

错误的新发现？

wsc810 · 发表于 2011-9-8 08:51:08

本帖最后由 wsc810 于 2011-9-8 08:54 编辑

$(C_3^0)^2+(C_3^1)^2+(C_3^2)^2+(C_3^3)^2$楼上等式右边算错了吧

有更一般的一个美妙公式

$C_m^n=sum_{j=0}^{n}C_{m-n}^{n-j}C_n^j$

为了对该公式有一个直观的了解，下面举一个例子

例如：当$m=9,n=3$时

有$C_9^3=C_6^3C_3^0+C_6^2C_3^1+C_6^1C_3^2+C_6^0C_3^3$

特殊情形就是当$m=2n$时,各分项变为其平方值

sheng_jianguo · 发表于 2011-9-8 12:43:39

公式是对的。但不是新发现，数学书（或手册）上常用的公式是
$C_{k+n}^n=sum_{j=0}^{n}C_k^jC_n^j$
做一下很简单变换就得到
$C_m^n=sum_{j=0}^{n}C_{m-n}^{n-j}C_n^j$

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