二元二次型合成的一问

wsc810

用 $(a,b,c)$ 表示二元二次型 $ax^2+2bxy+cy^2=F$ 的系数，若存在$(x,y)$使得该方程成立，我们可知也有 $aX^2+2bXY+cY^2=F^2$ 现在的问题是通过自身合成的这种二元二次型一定存在解 $(X,Y)$能否通过$(x,y)$及其它系数来表示。 貌似 $ax^2+2bxy+cy^2=ac$ 恒有解，不知这种推测对不对。另外更加一般的两个二元二次型（判别式相等）怎样合成。

wsc810

谁能用Mathematica求出不定方程 $13x^2-6xy-8y^2=-8$ 除了$(0,1)$解以外其它的解，要尽可能的多。

geslon

恒有解那个不对吧？ 假设a=-1，b=1，c=-1 原式化为：(x-y)^2=-1

wsc810

3# geslon 你的这种情况比较特殊，$Delta=0$

geslon

我用最简单的韦达定理，从（0,1）得出（0，-1）和（6/13,1）两组解。再从（0，-1）得到（-6/13,-1）等等。以此类推，可得到无穷组解。 俺不会用那个软件。

wayne

5# geslon x为正，且小于10^50，则有解 {22, 21} {15498, -26405} {906368, -1544241} {906368, 864465} {53007030, 50556421} {37330125610, -63601881909} {2183174039808, -3719622562145} {2183174039808, 2082242032289} {127678351203158, 121775554601205} {89917297537545162, -153198234565473349} {5258624408728862080, -8959477183172490129} {5258624408728862080, 5015508876625843569} {307539610613100886518, 293321509021199534309} {216584334082432926854762, -369009506787199446694485} {12666480165049479291228672, -21580746447966956386100929} {12666480165049479291228672, 12080886324179846917679425} {740772505321312105610022550, 706525278708295669932692949} {521687985010270768215088812810, -888835413055214832215120713061} {30509826772430412441249520756352, -51981673453687736171756451797745} {30509826772430412441249520756352, 29099303374364926840819311230481} {1784303178202168857044881875433782, 1701811677976050708431875902879685} {1256592979621932676690211281021469098, -2140943192438205288138767352827614581} {73489202805701102549547318663658371840, -125208568737916791496878829027553067041} {73489202805701102549547318663658371840, 70091666633640964584718340029809288161} {4297861771153892566471827930542993283542, 4099163999610274672425401782851781844661} {3026763049572705281954761783095883656354378, -5156902713284170871358522540527777086229125} {177013883733278570090937493336624652680482688, -301590630770380621505827329015469481448261201} {177013883733278570090937493336624652680482688, 168830217970421693937624209013000991937899185} {10352285435347223645037888598409446298151882870, 9873680920843564453441123776057352164023138981} {7290582318082816055896504502837063327081706945770,-12421462506901721139674063189216361066909783147669}

geslon

哦，明白了，要整数解。

geslon

回4楼，判别式是什么意思？如a=-1,b=0,c=-1，也无解。 另外，对于任何C<=0，B^2<=4AC（只要两个等号不同时成立）也都无解。

wsc810

6# wayne 其实我用到你的第一组解就可以了，wayne能贴出你的mathematica代码吗？授人以鱼不如授人以渔。

wsc810

wayne 怎么不回我的帖子，对于二元二次型 $ax^2+2bxy+cy^2=a$ 有平凡解$(1,0)$ $ax^2+2bxy+cy^2=c$ 有平凡解$(0,1)$ 设它们的非平凡解分别是 $(r,t)$ $(s,u)$ 根据相关公式(这些公式在华老的《数论导引》里有)则存在 $ru-st=1$ 成立,对此本人有一个浅显的猜想，对于配对的$(r,t)$ $(s,u)$ 是否有$r=u$成立，由于我还不会用Mathematica的相关函数求不定方程的更多解，所有暂有上述猜想，不知对不对。 另外回8楼，你说的"对于任何C<=0,B^2<=4AC（只要两个等号不同时成立）也都无解",假设是如下的情况，C<=0,B^2>4AC ,相当于题目里我所给的 $13x^2-6xy-8y^2=-104$这种情况，并非无解