求一曲线方程式

liexi20101117

对不起，本版版主，我不知我的这个问题放在哪具版好，所以借本版块求解下。
我是想问已知一旋转曲面F(x)，一小球沿此内壁某一点切线方向施加一力后，此球的理想状态下只受重力影响的运动轨迹方程是如何的呀。
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一个杯子的侧面为旋转曲面\(z=f(\sqrt{x^2+y^2}), 0≤z≤H\). 在杯口内壁沿切向以初速\(V_0\)平抛一小球（视为质点），假定杯内壁理想光滑，求小球仅在重力作用和杯壁约束下的运动轨迹方程。

zeroieme

先看一下最简单的情况：圆柱面。用参数方程。\(t\)为时间，\(r\)为圆柱半径， 起点为\((r,0,H)\)
\(\displaystyle\begin{cases}x=r\cos(\frac{V_0}rt) \\ y=r\sin(\frac{V_0}rt) \\ z=H-\frac12 g t^2\end{cases}\)
就是将平面抛物线卷起来。不说是杯子，就按一个无穷长圆管而论，这是一个螺距加速增大的螺线管。

hujunhua

若将杯子换成一个半球状的碗，这个轨迹有点意思，与旋轮线相类。是否会在有限时间内回到起点，可能取决于\(\displaystyle\frac{V_0^2}{gr}\)的性质吧（有理数vs无理数）. \(r\)是球半径，\(g\)是重力加速度.