简单堆叠的复杂推算

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哪有那么复杂，不就是等差数列*6么。---按xyz分别投影，每个投影都是1~n求和（简单堆叠的复杂推算3.jpg ）。

王守恩

1，小方块总数。
    1层：1×1=1=1
    2层：2×2=4=1+3
    3层：3×3=9=1+3+5
    4层：4×4=16=1+3+5+7
    5层：5×5=25=1+3+5+7+9
    6层：6×6=36=1+3+5+7+9+11
    7层：7×7=49=1+3+5+7+9+11+13
    8层：8×8=64=1+3+5+7+9+11+13+15
    ………………
说明，我们可以把每层拆散，在平面上重新拼成一个正方形。




2，可见表面积。
    1层：1×2÷2×5=5=5×1
    2层：2×3÷2×5=15=5×（1+2）
    3层：3×4÷2×5=30=5×（1+2+3）
    4层：4×5÷2×5=50=5×（1+2+3+4）
    5层：5×6÷2×5=75=5×（1+2+3+4+5）
    6层：6×7÷2×5=105=5×（1+2+3+4+5+6）
    7层：7×8÷2×5=140=5×（1+2+3+4+5+6+7）
    8层：8×9÷2×5=180=5×（1+2+3+4+5+6+7+8）
    ………………
说明，5个面都是一样的，我们可以从上往下看，则有：
    1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+………………

kastin

俯视堆叠，将其分解为1个方块和2个方块、3方块……的多组组合，不难发现：
`K_1=1\\K_2=2\times1+1\times 2=4\\K_3=3\times 1+2\times 2+1\times 3=10\\
K_4=4\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 4=20\\
K_5=5\times 1+4\times 2+3\times 3+2\times 4+1\times 5=35 \\ \cdots`
观察规律可知$$\begin{align*}K_n&=n\*1+(n-1)\*2+\cdots+2\*(n-1)+1\*n\\
&=\sum_{i=1}^n(n-i+1)i\\
&=(n+1)\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=1}^ni^2\\
&=(n+1)\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\end{align*}$$
上面只需要观察和自然数求和公式，以及平方和公式的知识就能得到结果，属于初中知识范畴。

事实上，数列 `1,4,10,20,35,\cdots`是一个 `3` 阶等差数列，根据高中数学知识可知，其通项公式是关于 `n` 的 `3` 次多项式，即 `K_n=A n^3+B n^2+ C n `，立马解得 `\D K_n=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}`. 这种方法更快捷。

kastin

`S_n`的求解更简单，俯视投影，左投影，右投影可得同样的平面图形，该投影面积为 `\D 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}`，可视面积就是这个投影面积的倍数。

现在需要知道这个“可视面积”到底指的是“图中可见部分”（即按照图中的固定视角），还是指“堆叠体上下四周都可见”？
如果是前者，那么总可视面积为3倍的这个投影面积$$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}$$如果是指后者（从楼主给的结果可见，楼主认为是这种解释），那就是6倍的这个投影面积$$S_n=3n(n+1)$$