由面积公式引发的多项式方程疑问

zeroieme

问题来源：http://bbs.emath.ac.cn/redirect. ... 39816&ptid=3702

现在的疑问是，多项式方程L(x,y)=0可分解成M(x,y)*N(x,y)=0 形式，并且M(x,y)<>N(x,y)
而 L(x,y)=0、M(x,y)=0、N(x,y)=0 分别与  R(x,y)=0 联合，消去y时，获得相同的S(x)=0。

是否意味着M(x,y)和N(x,y)的线性组合p M(x,y)+q N(x,y)=0 与 L (x,y)=0 有相同的x解集？

huxiaoke01

我觉得应该是：p M(x,y)+q N(x,y)=0 两边乘N(x,y)  
=>p M(x,y)*N(x,y)+q N(x,y)*N(x,y)=0
因为：M(x,y)*N(x,y)=0
=> N(x,y)*N(x,y)=0
=> N(x,y)=0  所以解应该是一样的

zeroieme

2# huxiaoke01


型如L(x,y)=0的二元一方程的实解集是曲线。
原题目是L(x,y)=0与 R(x,y)=0 联合成方程组，方能得到解集是有限点。消元为S(x)=0

因为L(x,y)=M(x,y)*N(x,y)=0，所以L(x,y)=0的解集是必然是M(x,y)=0和N(x,y)=0两者解集并集。

现在情况是 L(x,y)=0 ∩ R(x,y)=0 和 M(x,y)=0 ∩ R(x,y)=0 、N(x,y)=0 ∩ R(x,y)=0 的解的x部分一致（重根视为一个解），为S(x)=0
那么构造一个方程组 p M(x,y)+q N(x,y)=0 ∩ R(x,y)=0，得到了T(x)=0。
能否认为 S(x)=0和T(x)=0是同解方程。

zeroieme

问题解决了