砝码才称重

yyy_fcz · 发表于 2011-11-12 08:48:55

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4个砝码用天平能称出1~40克的物体，问砝码分别是多重？答案是1、3、9、27克。是否存在别的可能，4个砝码能称出1~n克的质量且n＞40？

wayne · 发表于 2011-11-12 10:43:38

称重可以看成是编码解码问题。

056254628 · 发表于 2011-11-12 10:44:13

假设被称物体放在天平的左边，重量为G，四个砝码的重量分别为a、b、c、d。那么$G=k_1a+k_2b+k_3c+k_4d$ 当砝码放在天平左边，系数为-1；砝码放在天平右边，系数为1；砝码没使用，系数为0. 这样$k_1a+k_2b+k_3c+k_4d$一共可表示$3^4=81$种结果,其中一个为$0$,$40$个正数,$40$个负数. 因为$G>0$,所以四个砝码只能最多称出$40$种不同的重量.

056254628 · 发表于 2011-11-12 10:49:56

k个砝码,则最多称出$(3^k-1)/2$的不同的重量.

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