电路接通的期望问题

056254628

一条电路中接有n组的开关(触摸式开关，只要被触摸过1次就一直处于接通状态)，每组开关的个数为$k_1$,$k_2$,......,$k_n$.
初始状态所有的开关都处于断开状态。
以后每次随机触摸其中的一个开关（每个开关被选择的概率都相同），问大约需要多少次（期望值）电路就被接通。
第一种连接方案：同组的开关全部并联，不同组的再相互串联。



第二种连接方案：同组的开关全部串联，不同组的再相互并联。



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求两种不同连接方案的电路接通触摸次数的期望值？

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对于第一种连接方案，当每组的开关个数都相等时，
那么期望值就等于$n*(1+1/2+1/3+......+1/n)$。
等同帖子一道数学或者概率相关题目
或一道关于掷骰子的期望计算题

wayne

2# 056254628
第一种连接方案 是个数受限的,k1,k2,k3，好像有点不一样

056254628

回复3#
当每组的开关个数都相等时，即k1=k2=......=kn,
那么与骰子的题目就等同了。

wayne

4# 056254628
感觉还是不一样，因为即便是相等也还是受限的，每一串联环节都有上限

056254628

回楼上，要不随便设定个数据验证一下。比如n=2,k1=k2=2,看看结果是否等于3？

056254628

第一连接方案，要使电路接通，每组开关都至少有一个被接通。而每一次，某组开关被选择触摸的概率都等于1/n，这不就是跟扔骰子的题目是类似的么？

wayne

7# 056254628
但第i组至多是 ki, 而扔骰子的题目 每组至多是n-m+1

056254628

回复8楼：
其实可以把各种不同的题目归为以下题目
"选数问题"
有1-n 共n个数，每次随机从中选择一个数(数i每次被选中的概率为$p_i$)，求当所有的数都被选中过，所需次数的期望值A？
当$p_1=p_2=......=p_n$时，$A=n*(1+1/2+1/3+......+1/n)$。

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对于电路的第一类问题：
电路中总共有开关S=k1+k2+......+kn个，所以每个开关每次被选中的概率都等于1/S。
对于同一组中的开关，其实没有区别，无论哪个被选中，该组电路就被接通，对总电路开通的贡献是一样的。所以可以把同组里的所有开关看成一个整体，如下图所示。



这样就归结为所有的组都被选过的次数期望，就等同于选数问题，而当k1=k2=......=kn时，期望就等于$n*(1+1/2+1/3+......+1/n)$，期望跟组的成员个数无关。

wayne

9# 056254628
嗯，明白了，只要等概率出现就行。
我觉得直接把图形简化成n个开关得了，呵呵