四边形中的最小网络-史坦纳问题

数学星空

已知凸四边形ABCD的各边长为分别为$a,b,c,d$ 且$cos(B)=k$, 四边形内部有两点P,Q, 为使网络树最小,我们知道:必须有$\angle APQ=\ angle APD=\ angle BQP=\angle BQC=120^circ$,

现分别求出$AP=x, DP=y, PQ=z ,BQ=u,CQ=v$的值?(用$a,b,c,d,k$的代数方程表示)

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zeroieme

z方向怎么决定。什么时候z是横的，如上图的样子；什么时候y v直接连接, x u直接连接，中间z以竖的方向连接另4条线段

hujunhua

最值问题，作为数学问题最紧要的是确定取最值的条件，最值本身是多少倒是次要的。
本题要求确定(a, b, c, d, k)→(x,y,z,u,v), 尽管这可以看作取最值的条件，但是这种代数表示远不及用几何特征的表示来得简明、直观和本质。但愿我这么说不会打击了星空的积极性。
不可否认，这种代数表示比几何表示来得彻底，相比之下，似乎几何表示还留有尾巴，即怎么作图还是个问题。也许这是寻求代数表示的一个合理动机吧。
四点形的Steiner树的作图是尺规可能的，而且作法还算简明、漂亮。
1、倚四边形一对对边各向外作一个正三角形，所得的两个新顶点的连线就是最短距离。
2、作两个正三角形的外接圆，与上述连线的交点就是构成Steiner树所需的新增结点。

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若利用代数方程似乎有困难：
我们可以得到以下五个方程
　　　$x^2+y^2+x*y=d^2$.....................................(1)   
        
            $u^2+v^2+u*v=b^2$......................................(2)

            $(x+z)^2+(u+z)^2-(x+z)*(u+z)=a^2$................(3)

            $(y+z)^2+(v+z)^2-(y+z)*(v+z)=c^2$................(4)

            $ (b*(u^2+a^2-x^2-z^2-x*z)-a*k*(b^2+u^2-v^2))^2=$            
               $ a^2*(1-k^2)*(4*b^2*u^2-b^2-u^2+v^2)$.......(5)

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从4＃的作图方法似乎找不到简单的方程来代替(5)，这样导致无法消元(代数式太庞大)
看来，唯一理想的方案就是用解析几何的方法求出，各个变量．．

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建立坐标系：以$A$点为原点，$AB$为$X$轴，设$A(0,0),B(b,0),C(c1,c2),D(d1,d2)$
则根据4#的作图方法可以求出$P(x1,y1),Q(x2,y2)$两点坐标
见附件$x1=P11,y1=P21,x2=Q11,y2=Q21$
$AP=x,DP=y,PQ=z,CQ=u,BQ=v$根据两点距离公式可以算出
可见利用代数方程求解几乎不可能！
解析法求四边形最小网络-史坦纳问题1.pdf (206.58 KB, 下载次数: 21)

2011-12-1 23:03 上传

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其实我们可以转换一种方式作代数计算:
通过简单的计算我们可以得到
$cos(A)=k1=((d^2+a^2+b^2-2*k*a*b-c^2)*(a-k*b)-b*sqrt(1-k^2)*sqrt(4*d^2*a^2+4*d^2*b^2-8*d^2*k*a*b-d^2-a^2-b^2+2*k*a*b+c^2))/(2*d*(a^2+b^2-2*k*a*b))$
$cos(A+B+60)=1/2*((k*k1-sqrt((1-k^2)*(1-k1^2)))-sqrt(3)*(k*sqrt(1-k1^2)+k1*sqrt(1-k^2)))$
$x=((sqrt(3)*k1-sqrt(1-k1^2))*a)/(sqrt(3)*(k*k1-sqrt((1-k^2)*(1-k1^2)))+k*sqrt(1-k1^2)+k1*sqrt(1-k^2))$
$y=((sqrt(3)*k-sqrt(1-k^2))*a)/(sqrt(3)*(k*k1-sqrt((1-k^2)*(1-k1^2)))+k*sqrt(1-k1^2)+k1*sqrt(1-k^2))$
$L=sqrt((x+b)^2+(y+d)^2-2*(x+b)*(y+d)*cos(A+B+60^circ))$
即我们得到了$L=x+y+z+u+v$..........(6)

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再将(6)代替(5),即对(1),(2),(3),(4),(6)进行消元可以得到
$(c^4*d^2+a^4*d^2+L^2*a^4+L^2*c^4-L^4*a^2-L^4*c^2-L^4*b^2+L^2*b^4-3*a^2*d^4+3*b^4*d^2+3*b^2*d^4-$
$3*c^2*d^4+12*L*d^5+22*L^2*d^4+16*L^4*d^2+24*L^3*d^3+6*L^5*d+a^2*c^2*d^2+L*a^4*d-L^2*a^2*c^2-L^2*b^2*c^2-L^2*b^2*a^2-$
$2*L*a^2*b^2*d-4*L*b^2*c^2*d+L^6+3*d^6-3*a^2*b^2*d^2-3*b^2*c^2*d^2+3*L*b^2*d^3-7*L*d^3*a^2-8*L*c^2*d^3+3*L*b^4*d+2*L*c^4*d-$
$8*L^2*c^2*d^2-8*L^2*d^2*a^2-5*L^3*a^2*d-4*L^3*c^2*d-2*L^2*b^2*d^2-3*L^3*d*b^2)*(c^4*d^2+a^4*d^2+L^2*a^4+L^2*c^4-L^4*a^2-L^4*c^2-$
$L^4*b^2+L^2*b^4-3*a^2*d^4+3*b^4*d^2+3*b^2*d^4-3*c^2*d^4-12*L*d^5+22*L^2*d^4+16*L^4*d^2-24*L^3*d^3-6*L^5*d+a^2*c^2*d^2-L*a^4*d-$
$L^2*a^2*c^2-L^2*b^2*c^2-L^2*b^2*a^2+2*L*a^2*b^2*d+4*L*b^2*c^2*d+L^6+3*d^6-3*a^2*b^2*d^2-3*b^2*c^2*d^2-3*L*b^2*d^3+7*L*d^3*a^2+$
$8*L*c^2*d^3-3*L*b^4*d-2*L*c^4*d-8*L^2*c^2*d^2-8*L^2*d^2*a^2+5*L^3*a^2*d+4*L^3*c^2*d-2*L^2*b^2*d^2+3*L^3*d*b^2)-3*L*(-4*L^8*c^2-3*L^8*b^2-$
$3*L^8*a^2+8*L^6*d^4-6*L^4*d^6-14*L^2*d^8-2*L^8*d^2-18*d^8*c^2-21*d^8*a^2+18*b^4*d^6-2*d^4*c^6+15*d^8*b^2-$
$6*a^6*d^4+6*b^6*d^4+16*d^6*a^4+10*c^4*d^6+3*b^8*d^2-2*L^4*a^6+4*L^6*a^4-2*L^4*c^6+4*L^6*c^4+4*L^6*b^4-$
$2*L^4*b^6+a^8*d^2+L^2*a^8+L^2*b^8+a^4*c^4*d^2+b^4*c^4*d^2+L^4*b^2*c^4+L^4*b^2*a^4+L^6*a^2*c^2+L^4*a^2*c^4+L^6*b^2*c^2+$
$L^4*b^4*a^2+L^2*a^4*c^4-L^2*b^6*c^2+L^2*b^4*c^4+a^6*c^2*d^2-L^2*a^2*c^2*d^4+L^2*a^4*b^2*c^2+12*d^10+2*L^10+22*b^2*c^2*d^4*a^2-$
$5*a^4*b^2*c^2*d^2+7*a^2*b^4*c^2*d^2-2*a^2*b^2*c^4*d^2-56*L^2*b^2*a^2*d^4-36*L^4*b^2*a^2*d^2+12*L^2*b^2*a^4*d^2-19*L^4*a^2*c^2*d^2-$
$6*L^2*a^4*c^2*d^2+4*L^2*a^2*c^4*d^2+7*L^2*b^2*c^2*d^4+13*L^4*b^2*c^2*d^2-8*L^2*b^2*c^4*d^2+4*L^2*b^4*d^2*a^2-2*L^2*b^4*d^2*c^2+$
$6*L^4*b^2*c^2*a^2-2*L^2*a^2*b^2*c^4+L^2*a^2*b^4*c^2-L^2*a^6*c^2+4*L^2*b^2*a^2*d^2*c^2-12*b^4*c^2*d^4+7*b^2*c^4*d^4-21*b^4*a^2*d^4+$
$19*b^2*a^4*d^4-8*c^2*a^4*d^4-5*c^4*a^2*d^4-30*b^2*d^6*a^2-21*b^2*d^6*c^2+19*d^6*a^2*c^2-5*a^6*b^2*d^2+10*a^4*b^4*d^2-3*b^6*c^2*d^2-$
$2*L^6*b^2*a^2+17*L^2*b^2*d^6-20*L^4*b^2*d^4-9*L^6*b^2*d^2+20*L^2*d^6*c^2+10*L^4*d^4*c^2-16*L^2*d^4*c^4-8*L^6*d^2*c^2+2*L^4*d^2*c^4-$
$11*L^2*d^6*a^2+20*L^4*d^4*a^2+15*L^6*d^2*a^2-2*L^4*a^4*c^2+4*L^2*c^6*d^2+27*L^2*b^4*d^4+13*L^4*b^4*d^2+27*L^2*a^4*d^4+15*L^4*a^4*d^2-$$8*L^2*a^6*d^2-2*L^4*b^4*c^2-4*L^2*b^6*d^2-3*L^2*a^6*b^2+4*L^2*a^4*b^4-3*L^2*a^2*b^6-9*a^2*b^6*d^2)*x+3*L^2*$
$(7*L^4*a^4+11*L^4*b^4+7*L^4*c^4+11*L^4*d^4-4*L^6*d^2-24*L^2*d^6-4*b^2*a^6+7*b^4*a^4-6*b^6*a^2-6*c^2*b^6+7*c^4*b^4-4*c^6*b^2+$
$6*b^2*d^6+9*b^4*d^4-6*c^6*d^2+19*a^4*d^4+6*b^6*d^2-36*d^6*a^2+19*c^4*d^4-36*c^2*d^6-6*a^6*d^2-8*L^6*b^2-12*L^6*a^2-12*L^6*c^2-$
$2*L^2*a^6-2*L^2*c^6-6*L^2*b^6+c^4*a^4-L^4*a^2*b^2-L^4*b^2*c^2+8*L^8+30*d^8+3*b^8+a^8+c^8+16*b^2*a^2*d^2*c^2-8*L^2*a^2*d^2*c^2-$
$28*L^2*b^2*c^2*d^2+16*L^2*b^2*c^2*a^2-46*L^2*b^2*a^2*d^2-L^2*b^4*a^2-L^2*b^4*c^2-2*c^2*b^2*a^4+4*c^2*b^4*a^2-2*c^4*b^2*a^2-$
$31*L^4*b^2*d^2+7*L^4*a^2*d^2-2*L^4*c^2*d^2+13*L^4*a^2*c^2-15*b^4*c^2*d^2+13*b^2*c^4*d^2-15*b^2*c^2*d^4-15*b^4*a^2*d^2-15*b^2*a^2*d^4-$
$3*c^4*a^2*d^2+19*c^2*a^2*d^4+13*b^2*a^4*d^2-3*a^4*d^2*c^2+2*L^2*c^2*d^4-7*L^2*a^2*d^4+17*L^2*a^4*d^2+8*L^2*c^4*d^2-5*L^2*a^4*c^2-$
$5*L^2*a^2*c^4+3*L^2*b^2*c^4+33*L^2*b^2*d^4+33*L^2*b^4*d^2+3*L^2*b^2*a^4)*x^2-18*L^3*(2*c^4*b^2+5*c^4*d^2+a^4*d^2+L^2*a^4+$
$2*L^2*c^4-5*L^4*a^2-3*L^4*c^2-L^4*b^2+L^2*b^4-a^2*b^4-c^2*b^4-c^4*a^2-7*a^2*d^4-10*c^2*d^4+L^2*d^4+4*a^2*c^2*d^2+4*L^2*a^2*c^2-$
$2*L^2*b^2*c^2+2*L^2*b^2*a^2+3*L^6+9*d^6-c^6+2*a^2*b^2*d^2-4*b^2*c^2*d^2-6*L^2*c^2*d^2-7*L^2*d^2*a^2+L^2*b^2*d^2+2*c^2*a^2*b^2)*x^3+$
$9*L^4*(24*d^4-13*L^2*a^2+8*c^2*a^2+4*c^4+10*L^4-3*b^4+6*L^2*d^2-10*L^2*c^2-18*d^2*c^2-15*d^2*a^2+6*a^2*b^2+a^4-3*b^2*d^2+3*L^2*b^2)*x^4-$$54*L^5*(2*L^2-a^2+3*d^2-c^2)*x^5+81*L^6*x^6=0$
其余的y,z,u,v的代数方程也可以很容易得到

数学星空

TO hujunhua 对于凸五边形是否也存在类似4#的简单方法?