关于三次方程的根式表达

好地方

近日忽然想算一下任意整数度数的三角函数的精确表达式，结果发现sin20°怎么都解不出来，相关的三次方程虽然有三个实根，却都无法用整数的根式表达，除非在根式中使用复数。然后就网上搜了一下，也没找到不用复数的表达式。

看起来有一些实数代数数必须借助于复数才能表达，我想知道这方面有什么理论结果，比如是否已证明了sin20°无法用整数的根式来表达？

另一方面，我觉得用复数的根式来表达一个实数不能算真正解决了问题，因为复数有n个n次方根，像(a+bi)^1/n这类的式子，可以对应n个不同的复数，比如sin20°的根式表达式（来自维基百科），其实可以等于9个不同的复数，其中3个是实数，但公式本身并未告诉我们哪一个才等于sin20°。

wayne

1# 好地方

像(a+bi)^1/n这类的式子，可以对应n个不同的复数

(a+bi)的n次方根 对应n个不同的复数，
但像(a+bi)^1/n这类的式子没有特殊说明的话，都是指主值 (Principal Value) ，是唯一的
http://mathworld.wolfram.com/PrincipalValue.html

将(a+bi)^1/n 转化成自然对数的形式，然后,2k*pi*I  的 k=0

好地方

2# wayne

Sin20°表达式中的两个立方根，如果都取主值，结果就不是实数了。

xbtianlang

sin20°的根式，是由$sin60=sin20cos40+sin40cos20=3sin20-4sin^3 20=sqrt(3)/2$得来的。
所以这个根式实际上是$sin3x=sqrt(3)/2$的解，x=20，40，140，160都成立。其中大于零的不相同的应该只有2个值。sin20应该是绝对值较小的一个。（°省略了）

wayne

3# 好地方

$2^{-\frac{4}{3}} (\root{3}{-\sqrt{3}+i}-\root{3}{\sqrt{3}+i} (-1)^{2/3})$

(-1)^(2/3) = cos(2/3pi)+sin(2/3pi) = -1/2 +sqrt(3)/2 i

wayne

实系数三次方程$x^3+q x-r=0$的三个根总可以表示成这种形式:
\[u+v,  \omega u+\omega^2 v,   \omega^2 u+\omega v \]
其中,$u,v$是 某实系数二次方程$T^2-r T-q^3/{27}=0$的根的三次方.

要保证三次方程的根的 根式表达不是 复数开方的形式, 就是要保证上面的$u,v$存在 实数解. 即判别式 $r^2+{4q^3}/{27}>=0$

而$\sin20^{\circ}$  的三次方程是 $4x^3-3x+\sqrt{3}/2 =0$, 对应的判别式 $r^2+{4q^3}/{27}=-1/64<0$

所以$\sin20^{\circ}$ 不能用实数开立方的形式表达.