等分正方形边长形成的交点数和区域数

iseemu2009 · 发表于 5 天前

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本帖最后由 iseemu2009 于 2025-4-14 16:29 编辑

求正方形边长 n 等分后形成的交点数和区域数

王守恩 · 发表于 5 天前

交点是这样一串数——有37, 257垫底, 再找来个5——A331449——可惜还没有通项公式。
5, 37, 257, 817, 2757, 4825, 12293, 19241, 33549, 49577, 87685, 101981, 178465, 220113, 286357, 379097, 551669, 606241, 880293, 951445, 1209049, 1507521,

区域是这样一串数——有56, 340垫底, 再找来个4——A255011——可惜还没有通项公式。
4, 56, 340, 1120, 3264, 6264, 13968, 22904, 38748, 58256, 95656, 120960, 192636, 246824, 323560, 425408, 587964, 682296, 932996, 1061232, 1327524, 1634488,

iseemu2009 · 发表于 5 天前

王守恩发表于 2025-4-14 16:33
交点是这样一串数——有37, 257垫底, 再找来个5——A331449——可惜还没有通项公式。
5, 37, 257, 817, 275 ...

表中的相关数据不够长，虽没有通项公式，能单独计算边长100等分时的交点数和区域数吗？

iseemu2009 · 发表于 5 天前

iseemu2009 发表于 2025-4-14 16:36
表中的相关数据不够长，虽没有通项公式，能单独计算边长100等分时的交点数和区域数吗？ ...

iseemu2009 · 发表于 5 天前

表中计算到了三十六项，按理说当n>3时计数就很困难了，他们难道是对每个1<n<36是挨个画图数出来的吗？我想的是，没有通项公式，但对特殊的n，有单个的计算方法。

mathe · 发表于 5 天前

这个题目4n个点连接的线段数目不超过12n^2条，每两条直线交点坐标是有理数，显然这样数目不超过144n^4个，对所有这些交点排序即可获得答案。现在这样的算法在现有计算机水平达到n到100左右是不困难的

iseemu2009 · 发表于 5 天前

问题的关键是，内部有些点是k条对角线的交点，这个k可以是2、3、4….，如何给出一个算法判断哪些线段可以交于一点是解决本问题的关键。目前世界上还没有找到这个判断法，所以用计算机编程来算交点数实现不了，进而无法求出分割的区域数。

aimisiyou · 发表于 4 天前

iseemu2009 发表于 2025-4-14 21:17
问题的关键是，内部有些点是k条对角线的交点，这个k可以是2、3、4….，如何给出一个算法判断哪些线段可以交 ...

暴力搜

iseemu2009 · 发表于 4 天前

aimisiyou 发表于 2025-4-15 08:30
暴力搜

代码发出来看一看？

iseemu2009 · 发表于 4 天前

本帖最后由 iseemu2009 于 2025-4-15 15:05 编辑

正方形边长2等分形成的交点数和区域数

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