合并石子问题(1)

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-1-17 13:52:39

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有$N$颗体积为$1$的石子。我们每次随机抽取$2$颗石子，合并成$1$颗石子。每颗石子被抽到的概率均等。

假设要合并的$2$颗石子的体积$\ $分别为$a$和$b$。如果$a=b$，那么合并后的体积为$(a+1)$，否则合并后的体积为$\min{a,b}$。一共合并$(N-1)$次，最后剩下$1$颗石子。记这颗石子的体积的期望值为$E(N)$。 $1$、求证：当$N$为奇数时，$E(N)=1$ $2$、求$\lim_{N->\infty}E(2N)$的值。

056254628 · 发表于 2012-1-20 11:57:56

E(2k-1)=1证明比较简单。 1的个数永远保持奇偶不变（每次减少2个或不变），奇数个1的话，最后必剩一个1。偶数的话，手算试了一下： E(2)=2 E(4)=7/3 E(6)=26/15

056254628 · 发表于 2012-1-20 12:00:01

E(2k)在2附近摆动，直觉E(2k)的极限可能为2。

056254628 · 发表于 2012-1-20 13:33:02

我算出的E(8)=92/63 看来上述直觉是错误的。

mathe · 发表于 2012-1-20 17:48:06

数值计算好像极限存在而且大于2，挺奇怪，第一感觉是没有极限

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-1-20 18:44:27

4# 056254628 为什么$E(6)$和$E(8)$都小于$2$？我觉得对于所有的$N$，都有$E(2N)>=2$。

056254628 · 发表于 2012-1-20 19:24:23

6# KeyTo9_Fans 2楼E(6)算错了，应该＝34/15 E(8)计算中引用了E(6)的结果，所以也是错误的

056254628 · 发表于 2012-1-20 19:34:53

电脑模拟了一下合并过程，每个N模拟10000次。结果如下： E(2)=2 E(4)=2.3306 E(6)=2.2588 E(8)=2.2978 E(10)=2.3061 E(12)=2.3123 E(14)=2.3151 E(16)=2.3208 E(18)=2.3220 E(20)=2.3128 E(22)=2.3219 E(24)=2.3130 E(26)=2.3139 E(28)=2.3309 E(30)=2.3299 E(32)=2.3248 E(34)=2.3234 E(36)=2.3261 E(38)=2.3261 E(40)=2.3201 E(42)=2.3193 E(44)=2.3167 E(46)=2.3234 E(48)=2.3272 E(50)=2.3294 E(52)=2.3323 E(54)=2.3202 E(56)=2.3224 E(58)=2.3207 E(60)=2.3239 E(62)=2.3310 E(64)=2.3276 E(66)=2.326 E(68)=2.3121 E(70)=2.327 E(72)=2.3277 E(74)=2.3233 E(76)=2.326 E(78)=2.3178 E(80)=2.3240 E(82)=2.3241 E(84)=2.3230 E(88)=2.3230 E(90)=2.3258 E(92)=2.3274 E(94)=2.3270 E(96)=2.3267 E(98)=2.3234 E(100)=2.3274 －－－－－确实都大于2

wayne · 发表于 2012-1-20 19:35:04

7# 056254628 E(6) =2/5*E(4) +3/5*2 =32/15

wayne · 发表于 2012-1-20 19:42:20

猜想： E(2N) =2+ (2^(N-2))/(1*3*5*(2N-1))

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