初中数学求ac÷ad的最小值？

nyy

初中数学求ac÷ad的最小值？

hujunhua

设BD=DC=1, BA=x, 则 $AD^2=x^2+x+1, AC^2=x^2+2x+4$
设AC/AD=k, 则 $k^2=(x^2+2x+4)/(x^2+x+1)$

化为整式 $(k^2-1)x^2+(k^2-2)x+(k^2-4)=0$
方程有实数解要求判别式 $(k^2-2)^2-4(k^2-1)(k^2-4)≥0$， 即
      $3k^4-16k^2+12≤0$
解得 $(sqrt7-1)/sqrt3≤k≤(sqrt7+1)/sqrt3$
        

aimisiyou

隐圆问题，将AC看成定点（AC=2*sqrt（3）），则B的轨迹是圆，又因D是BC中点，所以D的轨迹是圆。要求AC/AD的最值，显然一箭穿心。
$$\frac {2*\sqrt{3}} {\sqrt{7}+1} \le \frac {AC} {AB} \le \frac{2*\sqrt{3}}{\sqrt{7}-1}$$

nyy

hujunhua 发表于 2025-4-22 10:52
设BD=DC=1, BA=x, 则 $AD^2=x^2+x+1, AC^2=x^2+2x+4$
设AC/AD=k, 则 $k^2=(x^2+2x+4)/(x^2+x+1)$

人工智能居然能回答出这个问题，我说的是豆包，
居然真的答对了！

王守恩

1#的图没画好！！！！！！    ∠BCA = a = 99.553302675434547197...°

Minimize[{2*Sin[Pi/3]/Sqrt[(2*Sin[a])^2 + Sin[Pi/3 + a]^2 - 2*Sin[a]*Sin[Pi/3 + a]], Pi > a > 0}, {a}]

记CA = 2*Sin[Pi/3],   AB = 2*Sin[a],  BD = DC = Sin[Pi/3 + a]

nyy

aimisiyou 发表于 2025-4-22 11:40
隐圆问题，将AC看成定点（AC=2*sqrt（3）），则B的轨迹是圆，又因D是BC中点，所以D的轨迹是圆。要求AC/AD的 ...

小圆的圆心与小圆的半径是怎么确定的？
难道你是通过三个点来确定的？